在数列{an}中,已知a1=4/3,a2=13/9,当n≥2,且n∈N*时,有a(n+1)=4/3an-1/3a(n-1)(1)若bn=a(n+1)-an(n∈N*),求证数列{bn}是等比数列(2)求证:对任意n∈N*,都有4/3≤an<3/2

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/11/08 15:29:01

在数列{an}中,已知a1=4/3,a2=13/9,当n≥2,且n∈N*时,有a(n+1)=4/3an-1/3a(n-1)(1)若bn=a(n+1)-an(n∈N*),求证数列{bn}是等比数列(2)求证:对任意n∈N*,都有4/3≤an<3/2
在数列{an}中,已知a1=4/3,a2=13/9,当n≥2,且n∈N*时,有a(n+1)=4/3an-1/3a(n-1)
(1)若bn=a(n+1)-an(n∈N*),求证数列{bn}是等比数列
(2)求证:对任意n∈N*,都有4/3≤an<3/2

在数列{an}中,已知a1=4/3,a2=13/9,当n≥2,且n∈N*时,有a(n+1)=4/3an-1/3a(n-1)(1)若bn=a(n+1)-an(n∈N*),求证数列{bn}是等比数列(2)求证:对任意n∈N*,都有4/3≤an<3/2
(1)由题意,
a(n+1)-an=1/3(an-a(n-1))
即bn=1/3b(n-1)
所以{bn}是等比数列,公比为1/3
(2)b1=a2-a1=1/9
所以bn=(1/9)*(1/3)^(n-1)=1/3^(n+1)
an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+...+(an-a(n-1))
=4/3+b1+b2+...+b(n-1)
=4/3+1/9+1/27+...+1/3^n
=1+1/3(1-1/3^n)/(1-1/3)
=3/2-1/(2*3^n)<3/2
又bn>0
即{an}单增
所以an≥a1=4/3