作业帮如图,三角形ABC中,角BAC=90,AD⊥BC于D,M为AD中点,BM交AC于E,过E作EF⊥BC于F,AE=3,EC=12,则EF=怎么来的啊?这是图
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/05 21:43:40
如图,三角形ABC中,角BAC=90,AD⊥BC于D,M为AD中点,BM交AC于E,过E作EF⊥BC于F,AE=3,EC=12,则EF=怎么来的啊?这是图
如图,三角形ABC中,角BAC=90,AD⊥BC于D,M为AD中点,BM交AC于E,过E作EF⊥BC于F,AE=3,EC=12,则EF=
怎么来的啊?
这是图
如图,三角形ABC中,角BAC=90,AD⊥BC于D,M为AD中点,BM交AC于E,过E作EF⊥BC于F,AE=3,EC=12,则EF=怎么来的啊?这是图
过M作MN∥BC交AC于N.
∵AM＝BM、BN∥DC,∴AN＝CN＝AC/2＝（AE＋CE）/2＝（3＋12）/2＝15/2.
且MN＝CD/2.
显然有：EN＝AN－AE＝15/2－3＝9/2.
∵MN∥BC,∴△EMN∽△EBC,∴MN/BC＝EN/CE＝（9/2）/12＝3/8,
∴（CD/2）/（BD＋CD）＝3/8,∴CD/（BD＋CD）＝3/4,∴CD/BD＝3/（4－3）＝3,
∴CD＝3BD,∴BC＝BD＋CD＝4BD.
∵∠BAC＝90°,∴由勾股定理,有：AB^2＝BC^2－AC^2＝（4BD）^2－（AE＋CE）^2,
∴AB^2＝16BD^2－15^2.
∵AB⊥AC、AD⊥BC,∴由射影定理,有：AB^2＝BD×BC＝4BD^2.
∴16BD^2－15^2＝4BD^2,∴12BD^2＝15^2,∴2√3BD＝15,∴BD＝15/（2√3）.
∴CD＝3BD＝45/（2√3）.
再由射影定理,有：AD^2＝BD×CD＝［15/（2√3）］［45/（2√3）］＝（15/2）^2,
∴AD＝15/2.
由AD⊥CD、AD＝15/2、AC＝AE＋CE＝3＋12＝15,∴∠C＝30°.
由EF⊥CF、CE＝12、∠C＝30°,得：EF＝CE/2＝6.