三角形ABC中,AB=5,BC=3,AC=4,PQ‖AB,P在AC上,点Q在BC上,在AB上是否存在点M,使得三角形PQM为直角等腰三角形

来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/08 06:43:37

三角形ABC中,AB=5,BC=3,AC=4,PQ‖AB,P在AC上,点Q在BC上,在AB上是否存在点M,使得三角形PQM为直角等腰三角形
三角形ABC中,AB=5,BC=3,AC=4,PQ‖AB,P在AC上,点Q在BC上,
在AB上是否存在点M,使得三角形PQM为直角等腰三角形

三角形ABC中,AB=5,BC=3,AC=4,PQ‖AB,P在AC上,点Q在BC上,在AB上是否存在点M,使得三角形PQM为直角等腰三角形
当∠PQM=90°时（自己画图）
过P作PN⊥AB于N
设PQ=QM=PN=MN=a
∠QMB=∠ANP=90°
∠B=90°-∠A=∠APN
∴△MQB∽△NAP∽△CAB
∴AN:PN=AC:BC,BM:QM=BC:BC
∴MB=3/4a,AN=4/3a
∵AB=AN+NM+MB
∴3/4a+4/3a+a=5
∴PQ=a=60/37
当∠QPM=90°时
同理有PQ=60/37
当∠PMQ=90°时
过P作PN⊥AB于N,过Q作QR⊥AB于R,过M作MS⊥PQ于S
设PN=QR=a
则PQ=MN=2a（这个结论显而易见,我就直接写上了,你考试的时候最好再简证一下,不然碰上变态的老师就该扣分了）
类似前两种情况可得△RQB∽△NAP∽△CAB（这个最好也简证一下,不写的话问题可能也不是很大）
∴RB=3/4a,AN=4/3a
∵AB=AN+NM+MB
∴3/4a+4/3a+2a=5
∴a=60/49
∴PQ=2a=120/49

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