ab是圆o的直径,弦cd和直径ab相交于p,角apc=45,设圆o的半径是r,求证pc^2+pd^2=2r^2

ab是圆o的直径,弦cd和直径ab相交于p,角apc=45,设圆o的半径是r,求证pc^2+pd^2=2r^2
ab是圆o的直径,弦cd和直径ab相交于p,角apc=45,设圆o的半径是r,求证pc^2+pd^2=2r^2

ab是圆o的直径,弦cd和直径ab相交于p,角apc=45,设圆o的半径是r,求证pc^2+pd^2=2r^2
用解析几何的方法要简单一些：
设圆的圆心O在坐标原点,半径为r,
则⊙O的方程为
x^2 + y^2 = r^2 …… ①
又∵线段CD与直径AB相交于P点,且夹角为45°
∴CD所在直线的节距b的绝对值
|b|≤r；
CD所在的直线方程为
y = x + b …… ②
联立①②解方程,可得C、D点的坐标分别为
( -b/2±((2r^2 - b^2)^(1/2))/2,b/2±((2r^2 - b^2)^(1/2))/2 ）
以上解对于约束条件|b|≤r均成立；
根据直线方程可得,P点坐标为：
（-b,0）;
∴在已知C\P\D三点的坐标后,计算|CP|和|PC|长度的平方值为：
DP^2 = r^2 + b*((2r^2 - b^2)^(1/2))
CP^2 = r^2 - b*((2r^2 - b^2)^(1/2))
∴ DP^2 + CP^2 = 2*r^2