一道高二抛物线过抛物线y=ax^2(a>0)的顶点O做两条互相垂直的弦OP和OQ.求证:直线PQ过一定点.

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/11/08 17:38:42

一道高二抛物线过抛物线y=ax^2(a>0)的顶点O做两条互相垂直的弦OP和OQ.求证:直线PQ过一定点.
一道高二抛物线
过抛物线y=ax^2(a>0)的顶点O做两条互相垂直的弦OP和OQ.
求证:直线PQ过一定点.

一道高二抛物线过抛物线y=ax^2(a>0)的顶点O做两条互相垂直的弦OP和OQ.求证:直线PQ过一定点.
设PQ方程为y=kx+b
P(x1,y1) Q(x2,y2)
联立y=kx+b 与y=ax^2
得ax^2-kx-b=0
x1+x2=k/a x1x2=-b/a
又y1=kx1+b y2=kx2+b
y1y2=k^2x1x2+kb(x1+x2)+b^2=-bk^2/a+bk^2/a+b^2=0=b^2
又向量OP=(x1,y1) OQ=(x2,y2)
向量OP*OQ=x1x2+y1y2=0
得a=b^3 b=(a)^(1/3)
故y=kx+(a)^(1/3)
恒过点(0,a^(1/3))

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