作业帮如图,已知三角形ABC,分别以三边为边向形外作等边三角形△ABD,△BCE,△ACF,连接ED,EF.（1）猜想：四边形ADEF是什么四边形,试证明你的结论．（2）当三角形ABC满足什么条件时,四边形ABCD为矩形.（3
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/08 18:39:08
如图,已知三角形ABC,分别以三边为边向形外作等边三角形△ABD,△BCE,△ACF,连接ED,EF.（1）猜想：四边形ADEF是什么四边形,试证明你的结论．（2）当三角形ABC满足什么条件时,四边形ABCD为矩形.（3
如图,已知三角形ABC,分别以三边为边向形外作等边三角形△ABD,△BCE,△ACF,连接ED,EF.
（1）猜想：四边形ADEF是什么四边形,试证明你的结论．
（2）当三角形ABC满足什么条件时,四边形ABCD为矩形.
（3）当三角形ABC满足什么条件时,四边形ABCD为菱形.
（4）当三角形ABC满足什么条件时,四边形ABCD为正方形.
（5）当三角形ABC满足什么条件时,四边形ABCD不存在.
如图,已知三角形ABC,分别以三边为边向形外作等边三角形△ABD,△BCE,△ACF,连接ED,EF.（1）猜想：四边形ADEF是什么四边形,试证明你的结论．（2）当三角形ABC满足什么条件时,四边形ABCD为矩形.（3
(1)四边形ADEF为平行四边形.
证明:∵∠ACF=∠BCE=60°.
∴∠ECF=∠BCA;又EC=BC,FC=AC.
∴ ⊿ECF≌⊿BCA(SAS),EF=BA=AD;
同理:⊿EBD≌⊿CBA,DE=AC=AF.
∴ 四边形ADEF是平行四边形.
(2)当∠BAC=150°时,四边形ADEF为矩形;
(3)当AB=AC,且∠BAC≠60°时,四边形ADEF为菱形;
(4)当AB=AC,且∠BAC=150°时,四边形ADEF为正方形;
(5)当∠BAC=60°时,四边形ADEF不存在.
证明：四边形ADEF是平行四边形．
连接ED、EF，
∵△ABD、△BCE、△ACF分别是等边三角形，
∴AB=BD，BC=BE，∠DBA=∠EBC=60°．
∴∠DBE=∠ABC．
∴△ABC≌△DBE．
同理可证△ABC≌△FEC，
∴AB=EF，AC=DE．
∵AB=AD，AC=AF，
∴AD=EF，DE=AF．
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证明：四边形ADEF是平行四边形．
连接ED、EF，
∵△ABD、△BCE、△ACF分别是等边三角形，
∴AB=BD，BC=BE，∠DBA=∠EBC=60°．
∴∠DBE=∠ABC．
∴△ABC≌△DBE．
同理可证△ABC≌△FEC，
∴AB=EF，AC=DE．
∵AB=AD，AC=AF，
∴AD=EF，DE=AF．
∴四边形ADEF是平行四边形．
收起
(1)∠DBA=∠EBC=60度
所以∠DBA-∠EBA=∠EBC-∠EBA
所以∠DBE=∠ABC
又因为DA=AB，BE=BC
所以△DBE≌△ABC
所以AC=DE，又因为AC=AF
所以DE=AF
∠FCA=∠ECB=60度
所以∠FCA-∠ECA=∠ECB-∠ECA
所以∠FCE=∠ACB
又因为FC=AC，...
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(1)∠DBA=∠EBC=60度
所以∠DBA-∠EBA=∠EBC-∠EBA
所以∠DBE=∠ABC
又因为DA=AB，BE=BC
所以△DBE≌△ABC
所以AC=DE，又因为AC=AF
所以DE=AF
∠FCA=∠ECB=60度
所以∠FCA-∠ECA=∠ECB-∠ECA
所以∠FCE=∠ACB
又因为FC=AC，EC=BC
所以△FCE≌△ACB
所以EF=AB，又因为AB=AD
所以EF=AD
又因为已证得DE=AF
所以四边形ADEF为平行四边形
(2)∠BAC=150度时，
由（1）得是平行四边形，∠BAD=∠CAF=60，所以∠DAF=90
（3）AB=AC且∠BAC≠60°时
由（1）得平行四边形，AB=AC=AD=AF
（4）把（2）和（3）合并在一起即可，
（5）∠BAC=60是不存在，此时点A与点E重全，
收起