作业帮关于有限集和无限集的1000字左右
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/08 19:41:13
关于有限集和无限集的1000字左右
关于有限集和无限集的
1000字左右
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有限集和无限集的辨证关系
数学中的有限和无限是对现实世界的有限和无限的反映.整个物质世界的发展变化就是有限和无限的统一.
无限性首先就是指物质世界的无限性,宇宙的无限性.运动是物质的固有属性,时间和空间是物质的存在方式,物质世界的无限性就表现为时间的无限持续和空间的无限广延.数学中的无限性就是这种物质世界无限性的反映.
有限则是说一切事物都存在具体的时间和空间之中,因此总是一段时间,有规模的、有界限的.即一切事物都是具体的事物.数学中的有限就反映了这种有限性.
有限和无限是对立的统一,它们既是对立的,有区别的,又是相互联系的.并在一定条件下相互转化的.数学中的无限和有限也反映了这一点.例如 ,整数集是一个无限集合,人们无法得到一个完成了的整数集.但每个整数又都是有限的.我们可以得到任意的整数.任意给出一个数学的对象,我们立即就能判定它是否属于整数集,这样看问题,整数集又是一个完成了的集合,是一个有限的概念.因此整数集本身就是一个无限和有限的对立统一体.
有限和无限是对立的、有区别的,有限集合和无限集合的性质有质的不同.例如一个有限集和它的任何一个真子集都无法建立一一对立关系,而无限集则可以与它的一个真子集建立一一对应关系.比如,自然数集和它的一个真子集 偶自然数集就可以建立一一对应关系.再如,一个有限的良序数集,自然数集的一个有限数集必然有最大数和最小数.但是无限的良序数集则没有这种性质,实数集就没有最大数也没有最小数.
有限和无限又是密切相联系着的,没有有限也就没有无限,没有无限也就没有有限.无限性是不能完全被证明或者说被完全实现的.这并不是因为无限性不存在,而只是因为如果无限性一旦得到完成,得到实现,那它就不再成为无限,而变成有限.但是如果所有的无限都变成有限,无限就不存在了,因此有限也就不存在了.由于有限是存在的,所以无限是不能完全实现的.
事实上,有限的总和构成无限,无限是通过有限而存在的.这种情况在数学中也得到反映,比如整数集是由一个个具体的整数组成的,而这个集合的无限性就是通过无数个有限的整数总和表现出来的.
有限和无限在一定条件下能够相互转化.比如,物质是无限可分的,这个“分”的过程就是一个有限和无限互相转化的过程.《庄子·天下篇》所说：“一尺之棰,日取其半,万世不竭”就表达了这一过程.
一尺之棰,日取其半,这就是一个有限向无限转化的过程,就棰的长度来说,分的过程是无限的,无论分得多么小,总是可以取其长度的一半的,这是一个无限的过程.但是,纯粹的量的分割是有一个极限的,达到了这个极限它就转化为质的差别.作为一定质的棰来说,具体的分割又是可“竭”的,即分到一定的关节点时,就不能保持“棰”之为棰的质了.这个关节点就是“分”的一个极限,它标志着分的过程从无限到有限的转化.这个关节点大约在分到第三十天时达到,这时棰的长度大约是十亿分之一尺,已经小于分子的数量级,这时就不再成为其棰了.可见,“分”的过程是一个有限和无限,质和量的对立统一的过程.
在数学中,经常通过极限来实现有限和无限的转化.比如一个收敛的正项级数之和是由无限项组成的,但是它的极限值却是一个具体数值.反过来,在其定义域内正弦函数值是一个具体的数值.但是它却展开为无穷项的级数.再如导数和积分也是某种特殊的极限,因此,也是有限和无限转化的有力工具,数学通过有限和无限转化这一杠杆,可以解决许多实际问题.