什么是不等式

什么是不等式
什么是不等式

什么是不等式
编辑本段不等式(inequality)简介
　　用不等号将两个解析式连结起来所成的式子.在一个式子中的数的关系,不全是等号,含不等符号的式子,那它就是一个不等式.例如2x＋2y≥2xy,sinx≤1,ex＞0 ,2x＜3,5x≠5等 .根据解析式的分类也可对不等式分类,不等号两边的解析式都是代数式的不等式,称为代数不等式；也分一次或多次不等式.只要有一边是超越式,就称为超越不等式.例如lg(1＋x)＞x是超越不等式. 不等式分为严格不等式与非严格不等式.一般地,用纯粹的大于号、小于号“＞”“＜”连接的不等式称为严格不等式,用不小于号（大于或等于号）、不大于号（小于或等于号） “≥”“≤”连接的不等式称为非严格不等式,或称广义不等式. 通常不等式中的数是实数,字母也代表实数,不等式的一般形式为F(x,y,……,z)≤G(x,y,……,z )（其中不等号也可以为＜,≥,＞ 中某一个）,两边的解析式的公共定义域称为不等式的定义域,不等式既可以表达一个命题,也可以表示一个问题.
　　编辑本段不等式的最基本性质
　　①如果x＞y,那么y＜x；如果y＜x,那么x＞y；（对称性） ②如果x＞y,y＞z；那么x＞z；（传递性） ③如果x＞y,而z为任意实数或整式,那么x＋z＞y＋z；（加法则） ④ 如果x＞y,z＞0,那么xz＞yz；如果x＞y,z＜0,那么xz＜yz;（乘法则） ⑤如果x＞y,z＞0,那么x÷z＞y÷z;如果x＞y,z＜0,那么x÷z＜y÷z. ⑥如果x＞y,m＞n,那么x+m＞y+n(充分不必要条件) ⑦如果x＞y＞0,m＞n＞0,那么xm＞yn ⑧如果x＞y＞0,那么x的n次幂＞y的n次幂（n为正数） 如果由不等式的基本性质出发,通过逻辑推理,可以论证大量的初等不等式,以上是其中比较有名的.
　　编辑本段解不等式可遵循的一些同解原理
　　主要的有： ①不等式F（x）＜ G（x）与不等式 G（x）＞F（x）同解. ②如果不等式F（x） ＜ G（x）的定义域被解析式H（ x ）的定义域所包含,那么不等式 F（x）＜G（x）与不等式F（x）＋H（x）＜G（x）＋H（x）同解. ③如果不等式F（x）＜G（x） 的定义域被解析式H（x）的定义域所包含,并且H（x）＞0,那么不等式F(x)＜G（x）与不等式H（x）F（x）＜H（ x ）G（x） 同解；如果H（x）＜0,那么不等式F（x）＜G（x）与不等式H (x)F（x）＞H（x）G（x）同解. ④不等式F（x）G（x）＞0与不等式同解；不等式F（x）G（x）＜0与不等式同解.
　　编辑本段注意事项
　　1.符号： 不等式两边都乘以或除以一个负数,要改变不等号的方向. 2.确定解集： 比两个值都大,就比大的还大； 比两个值都小,就比小的还小； 比大的大,比小的小,无解； 比小的大,比大的小,有解在中间. 三个或三个以上不等式组成的不等式组,可以类推. 3.另外,也可以在数轴上确定解集： 把每个不等式的解集在数轴上表示出来,数轴上的点把数轴分成若干段,如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样,那么这段就是不等式组的解集.有几个就要几个. 4.不等式两边相加或相减,同一个数或式子,不等号的方向不变.（移项要变号） 5.不等式两边相乘或相除,同一个正数,不等号的方向不变.（相当系数化1,这是得正数才能使用） 6.不等式两边乘或除以同一个负数,不等号的方向改变.（÷或×1个负数的时候要变号）
　　编辑本段不等式证明方法
　　1.比较法 比较法是证明不等式的最基本、最重要的方法之一,它是两个实数大小顺序和运算性质的直接应用,比较法可分为差值比较法(简称为求差法)和商值比较法(简称为求商法). (1)差值比较法的理论依据是不等式的基本性质：“a-b≥0a≥b；a-b≤0a≤b”.其一般步骤为：①作差：考察不等式左右两边构成的差式,将其看作一个整体；②变形：把不等式两边的差进行变形,或变形为一个常数,或变形为若干个因式的积,或变形为一个或几个平方的和等等,其中变形是求差法的关键,配方和因式分解是经常使用的变形手段；③判断：根据已知条件与上述变形结果,判断不等式两边差的正负号,最后肯定所求证不等式成立的结论.应用范围：当被证的不等式两端是多项式、分式或对数式时一般使用差值比较法. (2)商值比较法的理论依据是：“若a,b∈R+,a/b≥1a≥b；a/b≤1a≤b”.其一般步骤为：①作商：将左右两端作商；②变形：化简商式到最简形式；③判断商与1的大小关系,就是判定商大于1或小于1.应用范围：当被证的不等式两端含有幂、指数式时,一般使用商值比较法. 2.综合法 利用已知事实(已知条件、重要不等式或已证明的不等式)作为基础,借助不等式的性质和有关定理,经过逐步的逻辑推理,最后推出所要证明的不等式,其特点和思路是“由因导果”,从“已知”看“需知”,逐步推出“结论”.其逻辑关系为：AB1 B2 B3… BnB,即从已知A逐步推演不等式成立的必要条件从而得出结论B. 3.分析法 分析法是指从需证的不等式出发,分析这个不等式成立的充分条件,进而转化为判定那个条件是否具备,其特点和思路是“执果索因”,即从“未知”看“需知”,逐步靠拢“已知”.用分析法证明AB的逻辑关系为：BB1B1 B3 … BnA,书写的模式是：为了证明命题B成立,只需证明命题B1为真,从而有…,这只需证明B2为真,从而又有…,……这只需证明A为真,而已知A为真,故B必为真.这种证题模式告诉我们,分析法证题是步步寻求上一步成立的充分条件. 4.反证法 有些不等式的证明,从正面证不好说清楚,可以从正难则反的角度考虑,即要证明不等式A>B,先假设A≤B,由题设及其它性质,推出矛盾,从而肯定A>B.凡涉及到的证明不等式为否定命题、惟一性命题或含有“至多”、“至少”、“不存在”、“不可能”等词语时,可以考虑用反证法. 5.换元法 换元法是对一些结构比较复杂,变量较多,变量之间的关系不甚明了的不等式可引入一个或多个变量进行代换,以便简化原有的结构或实现某种转化与变通,给证明带来新的启迪和方法.主要有两种换元形式.(1)三角代换法：多用于条件不等式的证明,当所给条件较复杂,一个变量不易用另一个变量表示,这时可考虑三角代换,将两个变量都有同一个参数表示.此法如果运用恰当,可沟通三角与代数的联系,将复杂的代数问题转化为三角问题根据具体问题,实施的三角代换方法有：①若x2+y2=1,可设x=cosθ,y=sinθ；②若x2+y2≤1,可设x=rcosθ,y=rsinθ(0≤r≤1)；③对于含有的不等式,由于|x|≤1,可设x=cosθ；④若x+y+z=xyz,由tanA+tanB+tanC=tanAtan-BtanC知,可设x=taaA,y=tanB,z=tanC,其中A+B+C=π.(2)增量换元法：在对称式(任意交换两个字母,代数式不变)和给定字母顺序(如a>b>c等)的不等式,考虑用增量法进行换元,其目的是通过换元达到减元,使问题化难为易,化繁为简.如a+b=1,可以用a=1-t,b=t或a=1/2+t,b=1/2-t进行换元. 6.放缩法 放缩法是要证明不等式A