作业帮证明：12+22+32+……+n2=1/6n(n+1)(2n+1)
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/09 09:44:09
证明：12+22+32+……+n2=1/6n(n+1)(2n+1)
证明：12+22+32+……+n2=1/6n(n+1)(2n+1)
证明：12+22+32+……+n2=1/6n(n+1)(2n+1)
1^2+2^2+3^2+4^2+5^2………………+n^2=n(n+1)(2n+1)/6
证明：利用立方差公式
n^3-(n-1)^3=1*[n^2+(n-1)^2+n(n-1)]
=n^2+(n-1)^2+n^2-n
=2*n^2+(n-1)^2-n
2^3-1^3=2*2^2+1^2-2
3^3-2^3=2*3^2+2^2-3
4^3-3^3=2*4^2+3^2-4
.
n^3-(n-1)^3=2*n^2+(n-1)^2-n
各等式全相加
n^3-1^3=2*(2^2+3^2+...+n^2)+[1^2+2^2+...+(n-1)^2]-(2+3+4+...+n)
n^3-1=2*(1^2+2^2+3^2+...+n^2)-2+[1^2+2^2+...+(n-1)^2+n^2]-n^2-(2+3+4+...+n)
n^3-1=3*(1^2+2^2+3^2+...+n^2)-2-n^2-(1+2+3+...+n)+1
n^3-1=3(1^2+2^2+...+n^2)-1-n^2-n(n+1)/2
3(1^2+2^2+...+n^2)=n^3+n^2+n(n+1)/2=(n/2)(2n^2+2n+n+1)
=(n/2)(n+1)(2n+1)
1^2+2^2+3^2+...+n^2=n(n+1)(2n+1)/6
因为：12+22+32+…+n2=1/6n(n+1)(2n+1)
试求22+42+62+…+1002
[(22+42+62+…+1002)/2]×2
=(12+22+32+…+1002)×2
然后运用公式：
1/6n(n+1)(2n+1)
其中n=200 所以n2就是2002