20题.咋做.

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/11/08 00:44:09

20题.咋做.
20题.咋做.
 

20题.咋做.
(Ⅰ)m=2时,f(x)=2x−
2
x
,f′(x)=2+
2
x2
,f′(1)=4,切点坐标为(1,0),∴切线方程为y=4x-4;
(Ⅱ)m=1时,令h(x)=f(x)−g(x)=x−
1
x
−2lnx,h′(x)=1+
1
x2

2
x

(x−1)2
x2
≥0,
∴h(x)在(0,+∞)上为增函数,
又h(1)=0,所以f(x)=g(x)在(1,+∞)内无实数根;
(Ⅲ)不等式f(x)-g(x)<2恒成立,即mx−
m
x
−2lnx<2恒成立,也就是m(x2-1)<2x+2xlnx恒成立,
又x2-1>0,则当x∈(1,e]时,m<
2x+2xlnx
x2−1
恒成立,
令G(x)=
2x+2xlnx
x2−1
,只需m小于G(x)的最小值,
由G′(x)=
(2+2lnx+2)(x2−1)−(2x+2xlnx)•2x
(x2−1)2
=
−2(x2lnx+lnx+2)
(x2+1)2
,
∵1<x≤e,∴lnx>0,∴当x∈(1,e]时G'(x)<0,∴G(x)在(1,e]上单调递减,
∴G(x)在(1,e]的最小值为G(e)=
4e
e2−1
,
则m的取值范围是(−∞,
4e
e2−1
).