求一个一阶常微分方程,

来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/07 22:34:05

求一个一阶常微分方程,
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求一个一阶常微分方程,
ylnydx+(x-lny)dy=0
‍方法①常数变易法
方程可变换为
dx/dy+[1/(ylny)]x=1/y
先求齐次方程
dx/dy+[1/(ylny)]x=0
变量分离得
(1/x)dx=[-1/(ylny)]dy
两边积分得
ln|x|=-ln(lny)+C1
即
ln(|x|lny)=C1
→
xlny=±e^C1
令C==±e^C1得ylnydx+xdy=0 的通解为
x=C/lny (C为常数)
于是设原方程通解为x=C(y)/lny
→
C'(y)=lny/y
→
C(y)=ln²y/2+C (C为常数)
故原方程的通解为
x=lny/2+C/lny
方法②公式法：
方程可变换为
dx/dy+[1/(ylny)]x=1/y
套公式
x=e^(-∫1/(ylny)dy)[∫ (1/y)e^(∫1/(ylny)dy) dy + C]
=e^(-∫1/lnydlny)[∫ (1/y)e^(∫1/lnydlny) dy + C]
=e^(-lnlny)[∫ (1/y)e^(lnlny) dy + C]
=1/(lny)[∫ lny/y dy + C]
=1/(lny)[∫ lny dlny + C]
=1/(lny)[(1/2)ln²y + C]
=(1/2)lny + C/lny

方程有积分因子：h(y)=1/y

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