作业帮一个数列,a(n)=a(n-1)+3,问a(100)-1能不能被3整除?条件是 a(1)-1能被三整除
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/06 06:02:26
一个数列,a(n)=a(n-1)+3,问a(100)-1能不能被3整除?条件是 a(1)-1能被三整除
一个数列,a(n)=a(n-1)+3,问a(100)-1能不能被3整除?条件是 a(1)-1能被三整除
一个数列,a(n)=a(n-1)+3,问a(100)-1能不能被3整除?条件是 a(1)-1能被三整除
an=a(n-1)+3
=a(n-2)+3+3
=a(n-3)+3+3+3
.
=a1+3(n-1)
(a100 -1) / 3 = [a1+3(100-1)-1] / 3
=(a1-1) / 3 +99
如果 a1-1 能被 3 整除,则 a100 -1 就能被 3 整除
a(100)-1能被3整除。利用数学归纳法。要证明 a(n)-1被3整除。
（1）由于条件知，当n=1时 a(1)-1被3整除。
（2）假设，当n=k时命题成立，即 a(k)-1被3整除。
当n=k+1时， a(k+1)-1=[a(k)+3]-1 (条件a(n)=a(n-1)+3)
=[a(k)-1]+3
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a(100)-1能被3整除。利用数学归纳法。要证明 a(n)-1被3整除。
（1）由于条件知，当n=1时 a(1)-1被3整除。
（2）假设，当n=k时命题成立，即 a(k)-1被3整除。
当n=k+1时， a(k+1)-1=[a(k)+3]-1 (条件a(n)=a(n-1)+3)
=[a(k)-1]+3
由于： [a(k)-1]被3整除（假设中成立，又3被3 整除，
所以 [a(k)-1]+3被3整除。即 a(k+1)-1 被3 整除，
所以对于任意正自然数n, a(n)-1被3整除 .
当然，当n=100时也成立。
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