微分方程的意义和作用是什么?

微分方程的意义和作用是什么?
微分方程的意义和作用是什么?

微分方程的意义和作用是什么?
、概念的界定
如果你有一笔货币收入,你暂时不打算花,于是,你准备把它储蓄起来.当然,你有很多种储蓄的方式,你可以把钱存到银行,也可以购买短期债券.不管是银行还是债券的发行人,它们都要向你承诺在一定的时期后要把这笔钱还给你,而且,还要额外地给你支付一定量的货币收入.我们把这笔钱称为“本金”,而你所得到的那笔额外的货币收入,我们称为“利息”.
从数学关系上看,“利率”则是利息与本金的比值.比如,100元人民币的本金存入银行,一年以后你得到10元人民币的利息,我们说银行存款的一年期利率为10%.
注意：利率的大小与时期的长短有关.
经济学家对利率的理解为,利率是货币的所有人放弃对该笔货币收入的本期消费,即转让这些货币一定时期的使用权所得到的回报.所以,利率是“货币使用权”这种商品的出售价格.另外,货币所有人放弃一定货币量的本期的消费,在未来他能够得到更多的货币量用于消费.因此,利率也反映了本期消费和未来消费之间的“相对价格”,因此,本期消费和未来消费是互为机会成本的.

2、货币的时间价值和贴现值
由于今天1元钱在未来会增值,所以,今天的1元钱比未来的1元钱价值更大,我们把这种货币价值的增值称为“货币的时间价值”（time value of money）.
如何来测量货币的时间价值呢?换言之,如何来比较今天的1元钱和1年后1元钱的价值大小呢?我们需要确定未来的1元钱在今天值多少钱.我们用贴现值的概念来表达这种思想.
何谓“贴现值”(present discounted value,又称现值) 未来的一定数量的货币在基期的价值.
计算贴现值的公式：
假如我们以r代表一年期的利率,我们要计算1年后的一定数量的货币在现在值多少钱,我们可以通过以下公式来计算
贴现值= 1年后的货币数量 / （1+r）
债券的现值如何计算?
假如你用一笔钱购买了一张n年后偿还的债券,它每年给你带来得利息收入为I1,I2,I3…In,同时在第n年将本金K也归还你.假定市场的年利率为r,我们可以用下面的公式来计算该债券的现值：
V= I1/（1+r） + I2 /（1+r）2 + I3 /（1+r）3 + … +In /（1+r）n + K / （1+r）n
（二）利率的决定

1、资金市场
我们已经讲到,在经济学家看来,利率是“货币使用权”的价格,因此,我们需要一个市场来交换货币使用权.我们把这样一个市场称为“资金市场”.（严格地讲,货币使用权的交换期限不超过1年的资金市场我们称为“货币市场”,超过1年的为“资本市场”）
根据我们前面对市场供求均衡的分析,实际上,利率是资金市场的价格.使资金的供给量和需求量相等的利率我们称为市场的均衡利率,这个均衡价格是由资金的供给力量和资金的需求力量共同作用的结果.它的变动也完全可以通过我们以前的分析方法来进行分析.
（在黑板上画图说明）
2、通货膨胀与实际利率
所谓“通货膨胀”是一个社会中物价水平随着时间而不断上升的现象.如果存在通货膨胀现象,那么,同样数量的货币在未来买的东西就不如现在买的东西多,因此,我们说货币被贬值了.所谓“通货膨胀率”通常是指1年内物价水平的变动率.
利率的存在会使得货币在未来会增值,而通货膨胀则使得货币贬值.因此,这是两种方向相反的力量.
由于有了通货膨胀,我们必须区别“实际利率”与“名义利率”.
一个基本的关系是：实际利率= 名义利率 － 通货膨胀率
四、跨时期选择
我们完全可以运用前面学习过的一些分析工具,如预算约束、偏好等来分析跨时期选择问题,换言之,我们仍然可以运用静态分析工具来分析跨时期选择.为了理解这一点,我们不妨这么来进行思考,即我们可以把不同时期的同一种商品理解为不同的商品.同时,我们通过贴现的方式把不同时期的收入转换为同一时期的收入.在这个基础上,我们能够得到预算线；同时,我们根据消费者的偏好得到反映不同时期消费组合的无差异曲线.

（一）最佳的跨时期选择
1、预算约束
我们假设一个消费者只活两个时期,只消费一种商品,他将如何进行两期消费组合的选择?
我们用（c1,c2）表示两个时期的消费组合,其中c1为第一期的消费量,c2为第二期的消费量.我们假设每个时期的消费价格不变,都等于1.而且消费者每个时期的货币收入为m1和m2,货币收入组合为（m1,m2）.
首先,我们假设消费者不能通过借款来消费,而且储蓄不产生利息（即没有资金市场的情形）.那么消费者的预算线和预算集是怎样的?
（在黑板上画图说明）
其次,我们假设存在资金市场,市场利率为r,而且消费者准备将一部分第一期的收入放到第二期消费,即他是一个储蓄者.这时,c1小于m1.同时,
c2= m2 +（m1－c1）+ r（m1－c1）= m2 +（1+ r）（m1－c1）
最后,我们假设消费者是一个借款人,这意味着他预先消费了一部分第二期的收入.这时,c1大于m1.同时,
c2= m2 －（c1－m1）－ r（c1－m1）= m2 +（1+ r）（m1－c1）
不管消费者是储蓄者还是借款人,c2的表达式是一样的,实际上这正是预算线公式.
通过代数变换,我们还可以得到其他两种预算约束公式,即
（1+r）c1 + c2 = （1+r）m1 +m2 （未来值表示的收入）
和
c1 + c2 /（1+r）= m1 +m2 /（1+r） （现值表示的收入）
这两个方程都可以表示为：
p1x1 + p2x2 = p1m1 + p2m2
（注意：不同的方程p1和p2代表的数值不一样）
（在黑板上画图说明）
2、消费者偏好
根据上一讲的内容,无差异曲线的形状反映了消费者对不同时期消费组合的偏好.
完全替代的无差异曲线说明消费者不在乎本期消费还是下一期消费.
完全互补的无差异曲线说明消费者总是按固定比例分配本期和下一期的消费.
更合乎现实的无差异曲线还是良好性状的无差异曲线,即消费者愿意将一部分本期的消费来替代下一期的消费,究竟替代多少取决于消费者本人的消费型式.在这种情况下,偏好是凸性的.
（二）比较静态分析
1、消费者类型的确定
什么情况下消费者是借款人?什么情况下消费者是存款人?
决定因素：最佳选择的组合方式
当c1＞m1时,消费者是借款人；
当c1＜m1时,消费者是存款人.
（在黑板上画图说明）
2、利率变动对消费者行为的影响
利率的变动实际上影响的是不同时期消费的价格比率,因此会影响消费者的预算集和预算线,并最终影响消费者选择的最优消费组合.
如果利率上升,那么,存款人将继续做存款人；
如果利率下降,那么,借款人将继续做借款人；
（在黑板上画图说明,根据显示偏好原理可以证明）
利率上升后借款人的行为如何变化和利率下降后存款人的行为如何变化,显示偏好原理不能够告诉我们什么.
但是,利率上升后,如果借款人继续做借款人,则他的处境肯定变坏；利率下降后,如果存款人继续做存款人,则他的处境也肯定变坏.
3、斯拉茨基方程和跨时期选择
利率的变动,从而导致不同时期消费价格的变动和需求的变动.
需求的变动也可以分解为替代效应和收入效应.
以提高利率为例,利用未来值预算约束来分析,提高利率等于提高第一期消费的价格,根据斯拉茨基方程,我们得到：
Δc1t / Δp1 = Δc1s /Δp1 +（m1－c1）（Δc1m /Δm）
（?） （—） （?） （+）
根据上面的表达式,我们能够推导出,如果消费者原来是借款人,那么,利率的上升将使他减少第一期的消费；而对于作为存款人的消费者而言,总体的效应是不明显的.