若A^2=B^2=I,且|A|+|B|=0,证明：A+B是不可逆矩阵

来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/03 05:23:55

若A^2=B^2=I,且|A|+|B|=0,证明：A+B是不可逆矩阵
若A^2=B^2=I,且|A|+|B|=0,证明：A+B是不可逆矩阵

若A^2=B^2=I,且|A|+|B|=0,证明：A+B是不可逆矩阵
因为|A+B|=|A|+|B|=0.
根据定理 n阶方阵A为可逆阵的充分必要条件是|A|不等于0；
所以,A+B为不可逆矩阵
一般来说,|A+B|=|A|+|B|可以直接拿来用,如果要证明的话.
可以设|A1|为：第一行元素为A的第一行元素,其余元素为0；
|A2|为：第二行元素为A的第二行元素,其余元素为0；
|Ai|为：第i行元素为A的第i行元素,其余元素为0.
同理,设|B1|、|B2|……|Bi|.|A+B|1、|A+B|2、|A+B|3、……|A+B|n.
根据定理,如果行列式的某一行（列）的每个元素都可以分解成两个元素之和,则此行列式等于两个行列式的和.
所以,|A|=|A1|+|A2|+……+|An|,B=|B1|+|B2|+……+|Bn|.
|A+B|=|A+B|1+|A+B|2+|A+B|3+……+|A+B|n.
所以,|A|+|B|=|A1|+|A2|+|A3|+……+|An|+|B1|+|B2|+|B3|+……+|Bn|
=|A1|+|B1|+|A2|+|B2|+|A3|+|B3|+……+|An|+|Bn|
=|A+B|1+|A+B|2+|A+B|3+……+|A+B|n.

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