作业帮函数与不等式综合题 有一定难度18.已知定义在(-∞,3]上的单调减函数f(x),使得f(a^2-sinx)≤f(a+1+cos^2 x)对一切实数x均成立,求实数a的取值范围.
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/08 14:01:19
函数与不等式综合题 有一定难度18.已知定义在(-∞,3]上的单调减函数f(x),使得f(a^2-sinx)≤f(a+1+cos^2 x)对一切实数x均成立,求实数a的取值范围.
函数与不等式综合题 有一定难度
18.已知定义在(-∞,3]上的单调减函数f(x),使得f(a^2-sinx)≤f(a+1+cos^2 x)对一切实数x均成立,求实数a的取值范围.
函数与不等式综合题 有一定难度18.已知定义在(-∞,3]上的单调减函数f(x),使得f(a^2-sinx)≤f(a+1+cos^2 x)对一切实数x均成立,求实数a的取值范围.
因为是减函数,所以a^2-sinx≥a+1+cos^2 x,即a^2-a-1≥cos^2 x+sinx;
因为cos^2 x+sinx=1-sin^2 x+sinx,所以,原式变为a^2-a-1≥—（sin^2 x-sinx-1）
令sinx=t,因为x定义在(-∞,3],所以-1≤t≤1,所以原式又可变为a^2-a-1≥—（t^2-t-1）
对函数F（t）=—（t^2-t-1）在-1≤t≤1时可作图的-1≤F(t)≤5/4,
所以要使不等式恒成立,必须a^2-a-1≥5/4即：a^2-a-9/4≥0,即可得a的取值范围.PS：解一元二次不等式a^2-a-9/4≥0就由LZ你自己来解决吧!
首先根据定义域知a2+sinx<=3.由于x可以取任意实数，a2《=3-sinx中令sinx=1。知-√2<=a<=√2.同样的有a+1+cos^2x<=3,知a<=1,故-√2<=a<=1.
a2-a-1>=sinx+cos^2x=-sin^2x+sinx+1=5/4-(sinx+1/2)^2.右边的最大值为5/4
所以有a2-a-1>=5/4,得a2-a+1/4>=10/4...
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首先根据定义域知a2+sinx<=3.由于x可以取任意实数，a2《=3-sinx中令sinx=1。知-√2<=a<=√2.同样的有a+1+cos^2x<=3,知a<=1,故-√2<=a<=1.
a2-a-1>=sinx+cos^2x=-sin^2x+sinx+1=5/4-(sinx+1/2)^2.右边的最大值为5/4
所以有a2-a-1>=5/4,得a2-a+1/4>=10/4 => (a-1/2)2>=10/4,即a>=(1+√10)/2或a<=(1-√10)/2
a在[-√2,1]中
故a的取值范围是[-√2,(1-√10)/2].
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