作业帮【数学】快来人呀,这题想了我一天!2012全国新课标卷文科第20题设抛物线C：X²=2py（p>0）的焦点为F,准线为l,A为C上一点,已知以F为圆心,FA为半径的圆F交l于B,D两点（1）若∠BFD=90°,△ABD的面积
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/05 16:28:34
【数学】快来人呀,这题想了我一天!2012全国新课标卷文科第20题设抛物线C：X²=2py（p>0）的焦点为F,准线为l,A为C上一点,已知以F为圆心,FA为半径的圆F交l于B,D两点（1）若∠BFD=90°,△ABD的面积
【数学】快来人呀,这题想了我一天!2012全国新课标卷文科第20题
设抛物线C：X²=2py（p>0）的焦点为F,准线为l,A为C上一点,已知以F为圆心,FA为半径的圆F交l于B,D两点
（1）若∠BFD=90°,△ABD的面积为4根号2,求p的值及圆F的方程
（2）若A,B,F三点在同一直线m上,直线n与m平行,且n与C只有一个公共点,求坐标原点到m,n距离的比值
【数学】快来人呀,这题想了我一天!2012全国新课标卷文科第20题设抛物线C：X²=2py（p>0）的焦点为F,准线为l,A为C上一点,已知以F为圆心,FA为半径的圆F交l于B,D两点（1）若∠BFD=90°,△ABD的面积
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孩纸。别依赖答案！
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(1)F(0,p/2)
因为∠BFD=90°，根据对称性，B、D关于y轴对称，所以△BDF是等腰直角三角形，BF=DF。
F到准线距离是p，不妨设B左D右，则B(-p,-p/2)，D(p,-p/2)
因为A为抛物线上一点，所以FA等于A到准线距离，还等于BF、DF，值为√2p
所以S△ABD=(1/2)*[p-(-p)]*√2p=4√2，解得：p=2
圆F的...
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(1)F(0,p/2)
因为∠BFD=90°，根据对称性，B、D关于y轴对称，所以△BDF是等腰直角三角形，BF=DF。
F到准线距离是p，不妨设B左D右，则B(-p,-p/2)，D(p,-p/2)
因为A为抛物线上一点，所以FA等于A到准线距离，还等于BF、DF，值为√2p
所以S△ABD=(1/2)*[p-(-p)]*√2p=4√2，解得：p=2
圆F的方程为x²+(y-1)²=8
(2)因为A,B,F三点在同一直线m上，所以AD⊥BD，DF为Rt△ABD斜边中线，且△ADF为正三角形。
所以，Rt△ABD为∠A=60°的直角三角形，F为斜边中点。
由F(0,p/2)得：B(-√3p,-p/2)，D(√3p,-p/2)，A(√3p,3p/2)
直线m的方程：y=√3x/3+p/2
因为m//n，所以n的斜率也是√3/3，设其方程为y=√3x/3+h
联立x²=2py消y化简得：3x²-2√3px-6ph=0
因为n与C只有一个公共点，Δ=12p²+4*3*6ph=0，得：h=-p/6
则直线n的方程：y=√3x/3-p/6
那么，坐标原点到m的距离d1=|p/2|/√[(√3/3)²+1²]，坐标原点到n的距离d2=|-p/6|/√[(√3/3)²+1²]
比值d1/d2=|p/2|/|-p/6|=3
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