作业帮三棱锥P-ABC中,侧面PAC与底面ABC垂直,PA=PB=PC=3(1)求证AB⊥BC(2)如果AB=BC=2√3,求侧面PBC与侧面PAC所成的二面角的大小
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/08 00:00:12
三棱锥P-ABC中,侧面PAC与底面ABC垂直,PA=PB=PC=3(1)求证AB⊥BC(2)如果AB=BC=2√3,求侧面PBC与侧面PAC所成的二面角的大小
三棱锥P-ABC中,侧面PAC与底面ABC垂直,PA=PB=PC=3
(1)求证AB⊥BC
(2)如果AB=BC=2√3,求侧面PBC与侧面PAC所成的二面角的大小
三棱锥P-ABC中,侧面PAC与底面ABC垂直,PA=PB=PC=3(1)求证AB⊥BC(2)如果AB=BC=2√3,求侧面PBC与侧面PAC所成的二面角的大小
(1) 取AC中点为D,连接PD,BD
∵ PA=PA,D为AC中点,PD⊥AC
∵面PAC⊥面ABC,
∴PD⊥面ABC
∴PD⊥BD
BD^2=PB^2-PD^2=PA^2-PD^2=AD^2=DC^2
即 BD=AD=DC
∴ ∠CBA=90°（直角三角形斜边中线等于斜边一半逆定理）
(2) 过D做DE垂直CP,垂足为E,连接BE
AB=BC=2√3
∴△ABC是等腰直角三角形
∴BD⊥AC,AC=2√6
又因为 BD,⊥PD
∴BD⊥面PAC
∴BD⊥CP
又∵DE⊥CP
∴CP⊥面BDE
∴CP⊥BE,
∴∠DEB就是所要求的二面角.
BD=CD=1/2AC=√6
又PD⊥AC,DE⊥CP
DE/DC=PD/PC=sin∠PCD
PD^=PC^2-CD^2=3
PD=√3
DE==CD*PD/PC=√2
tan∠BED=BD/DE=√3
∠BED=60°
即二面角是60°
(1)过P做PD⊥平面ABC
△PDA≌△PDB≌△PDC(HL)
∴DA=DB=DC
∴AB⊥BC
(2)用几何方法吧~~懒得建系了
B到PAC距离为2√3/√2=√6
B到直线PC的距离用面积法计算。记为d
△PBC是等腰三角形，以BC为底，勾股定理得出高为√6
S=1/2*2√3*√6=3√2
S=1/2*3*d
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(1)过P做PD⊥平面ABC
△PDA≌△PDB≌△PDC(HL)
∴DA=DB=DC
∴AB⊥BC
(2)用几何方法吧~~懒得建系了
B到PAC距离为2√3/√2=√6
B到直线PC的距离用面积法计算。记为d
△PBC是等腰三角形，以BC为底，勾股定理得出高为√6
S=1/2*2√3*√6=3√2
S=1/2*3*d
d=2√2
故sin二面角=√6/d=√3/2
二面角=60°
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