设A为满秩矩阵,AB=C,证明线性方程Bx=0与Cx=0同解

来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/09 01:00:23

设A为满秩矩阵,AB=C,证明线性方程Bx=0与Cx=0同解
设A为满秩矩阵,AB=C,证明线性方程Bx=0与Cx=0同解

设A为满秩矩阵,AB=C,证明线性方程Bx=0与Cx=0同解
当BX=0时,CX=ABX=A(BX)=0
所以BX=0的解都是CX=0的解
又因为：r(B)=r(AB)=r(C)
所以这两个齐次方程的解的维数相同
所以解空间相同,同解!

因为AB=C,所以ABX=CX
又因为A为列满秩矩阵,所以当BX＝0时,CX＝0,
当CX＝0时,BX＝0
所以线性方程BX＝0与CX＝0同解

用a,b,c表示与矩阵A,B,C对应的线性变换,例如
对一切x属K^n(n是A的列数),a(x) = Ax 等.
那么 a b =c, 左边是映射的合成.
线性方程Bx=0的解空间就是线性映射 b 的核 Ker(b).
显然b的核包含于c的核.反过来,A是列满秩的等价于说线性映射 a 是单射,所以 a b(x) = 0 蕴含 b(x) =0 , 即 c的核含于 b的...

全部展开

用a,b,c表示与矩阵A,B,C对应的线性变换,例如
对一切x属K^n(n是A的列数),a(x) = Ax 等.
那么 a b =c, 左边是映射的合成.
线性方程Bx=0的解空间就是线性映射 b 的核 Ker(b).
显然b的核包含于c的核.反过来,A是列满秩的等价于说线性映射 a 是单射,所以 a b(x) = 0 蕴含 b(x) =0 , 即 c的核含于 b的核.综上所述,Ker(b)=Ker(c).

收起

设A为满秩矩阵,AB=C,证明线性方程Bx=0与Cx=0同解 设A为列满秩矩阵,AB=C,证明线性方程BX＝0与CX＝0同解. 设A为m*n矩阵,B为n*K矩阵,AB=0,用分块法证明B的k个列是齐次线性方程AX=0的解 设A为n阶可逆矩阵,B为n×m矩阵,证明:秩(AB)=秩(B) 设A为列满秩矩阵,B、C为n*t矩阵,证明AB=BC的充分必要条件是B=C 设A是m*n矩阵,C和B均为n*s矩阵,且AB=AC,B不等于C,证明:r(A) 设A为mxn矩阵,B为nxm矩阵,m>n,证明AB不是可逆矩阵? 设A为mxn实矩阵,AtA为正定矩阵,证明线性方程AX=0只有零解 急没人会做吗 请教一简单线性代数证明题设A为mxn矩阵,它的m个行向量是某个n元齐次线性方程的一个基础解系,又B是m阶可逆矩阵,证明：BA的行向量也是该线性方程的一个基础解系.是不是证明BA的秩与A的秩 A为秩为n的s*n矩阵,AB=BC证明B=C 设A,B为两个n阶正定矩阵,证明:AB为正定矩阵的充要条件是AB=BA. 设A,B为nn矩阵,证明：如果AB=0,那么秩（A）+秩（B） 设A,B为nn矩阵,证明：如果AB=0,那么秩（A）+秩（B） 设A为n*m矩阵,B为m*n矩阵,证明:当m>n时,方阵C=AB不可逆急用, 证明：设A,B为n阶矩阵,若AB=BA,则A,B秩相同 设A B都是n阶对称矩阵,证明AB为对称矩阵的充分必要条件是AB=BA. 设A,B都是n阶对称矩阵,证明AB为对称矩阵的充分必要条件是AB=BA 矩阵证明题设A为方阵,证明,如果A=AB,但B不是单位矩阵,则A毕为奇异矩阵