作业帮三角形ABC,角ABC90度,以AB为直径圆O交AC于E,D为BC中点,证DE与圆O相切
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/09 10:07:03
三角形ABC,角ABC90度,以AB为直径圆O交AC于E,D为BC中点,证DE与圆O相切
三角形ABC,角ABC90度,以AB为直径圆O交AC于E,D为BC中点,证DE与圆O相切
三角形ABC,角ABC90度,以AB为直径圆O交AC于E,D为BC中点,证DE与圆O相切
证明:
连接OE,BE
因为AB为直径,则角AEB为90度,从而角BEC也为90度
D为BC中点,故BD=DE,得角DBE=角DEB
其中OE=OB,角OBE=角OEB
因为角ABC为直角,则角OBE+角DBE=90度
等量代换 角OEB+角DEB=90度
即角OED=90度
因为OE为半径,故DE与圆O相切
证明结束
连接OE,BE,则三角形AEB,BEC为直角三角形,点O,D分别为直角三角形AEB,BEC斜边上的中点,则角AEO=角EAO=EBC=DEB,因为角AEO+BEO=90度,所以角DEB+BEO=90度,即OE垂直DE.
连接DE、OE、OD、BE，设BE交OD于点F，
由于D、O为BC、BA中点，且BE⊥CA，
则BF⊥DO，
直角三角形BFO与EFO为全等三角形，
则直角三角形BDO与EDO为全等三角形，
因此，角DEO=角DBO，即角DEO为直角，
因此，DE与圆O相切
证明：
连接OE、BE(提示:只要证明OE⊥ED就相当于DE与圆O相切)
∵AB为圆O的直径，点E在圆O上
则∠AEB=90度 当然也有∠CEB=90度
∴OA=OB=OC
∴∠A=∠AEO
∵AB为圆O的直径，∠ABC=90度
∴CB切圆O于点B，
则
∠DBE=∠A(弦切角等于它夹的弧（弧EB）所对的角A)
...
全部展开
证明：
连接OE、BE(提示:只要证明OE⊥ED就相当于DE与圆O相切)
∵AB为圆O的直径，点E在圆O上
则∠AEB=90度 当然也有∠CEB=90度
∴OA=OB=OC
∴∠A=∠AEO
∵AB为圆O的直径，∠ABC=90度
∴CB切圆O于点B，
则
∠DBE=∠A(弦切角等于它夹的弧（弧EB）所对的角A)
又∵∠CEB=90度,D为BC中点
则有
CD=BD=DE
∴∠DBE=∠DEB
∴∠A=∠DEB
∵∠A=∠AEO
∴∠DEB=∠AEO
∵∠AEO+∠OEB=∠AEB=90度
∴∠DEB+∠OEB=90度
即
∠OED=∠DEB+∠OEB=90度
所以
OE⊥ED
也就是
DE与圆O相切
收起