当x→0时,1/x-1/ln(x+1)的极限是0吗?

来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/08 21:02:52

当x→0时,1/x-1/ln(x+1)的极限是0吗?
当x→0时,1/x-1/ln(x+1)的极限是0吗?

当x→0时,1/x-1/ln(x+1)的极限是0吗?
lim(x->0)1/x-1/ln(x+1)=lim(x->0)[ln(x+1)-x]/[xln(x+1)],
这是0/0型,可以用罗比达法则,(或者可以用ln(x+1)在x=0处的泰勒展开式带入求)
考虑到x->0时,ln(x+1)~x,所以lim(x->0)[ln(x+1)-x]/[xln(x+1)]=lim(x->0)[ln(x+1)-x]/x²
=lim(x->0)[1/(x+1)-1]/(2x)=lim(x->0)[-1/(x+1)²]/2=lim(x->0)-1/[2(x+1)²]=-1/[2(0+1)²]=-1/2,
所以1/x-1/ln(x+1)的极限是-1/2.

当x→0时，1/ln(x+1)的极限是1，所以1/x-1/ln(x+1)的极限就变成了1/x-1，应该是无穷吧，

不是，是-1/2
lim [1/x-1/ln(1+x)]=lim [ln(1+x)-x]/(x*ln(1+x))=lim [ln(1+x)-x]/(x^2)=lim [1/(1+x)-1]/(2x)=lim (-1/(2(1+x))=-1/2

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