求人教版九年级数学竞赛题

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求人教版九年级数学竞赛题
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余姚世南中学培优生选拔(2008.12.2)
数学竞赛试卷
(满分120分,考试时间120分钟)
一、选择题:（每题5分,共30分）
1．将正偶数按下表排成5列
第一列 第二列 第三列 第四列 第五列
第一行 2 4 6 8
第二行 1 6 1 4 1 2 1 0
第三行 1 8 2 O 22 24
第四行 …… …… 2 8 2 6
……
则2 008应该排在 ( )
A．第2 5 1行,第5列 B．第2 5 0行,第3列
C．第5 0 0行,第2列 D．第5 0 1行,第1列
2．如图,在一个棱长为6cm的正方体上摆放另一个正方体,使得上面正方体的四个顶点恰好均落在下面正方体的四条棱上,则上面正方体体积的可能值有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．无数个
3．轮船在河流中逆流而上,下午5时,船长发现轮船上的一橡皮艇失落水中,船长马上命令掉转船头寻找,经过了一个小时追上了顺流而下的橡皮艇.如果轮船在整个过程中的动力不变,那么据此判断,轮船失落橡皮艇的时间为（ ）
A．下午1点 B．下午2点 C．下午3点 D．下午4点
4．某同学用牙膏纸盒制作一个如图所示的笔筒,笔筒的筒底为长4.5厘米,宽3．4厘米
的矩形.则该笔筒最多能放半径为0．4厘米的圆柱形铅笔 ( ）
A．20支 B.2l支 C．2 4支 D．2 5支
第4题图
5．对于直角坐标平面内的任意两点A（x1,y1）,B(x2,y2),定义它们之间的一种“距离”：
∣∣AB∣∣＝∣x2-x1∣+∣y2-y1∣,给出下列三个命题：
若点C在线段AB上,则∣∣AC∣∣＋∣∣CB∣∣＝∣∣AB∣∣
在⊿ABC中,若∠C＝90°,则∣∣AC∣∣2＋∣∣CB∣∣2＝∣∣AB∣∣2
在⊿ABC中,∣∣AC∣∣＋∣∣CB∣∣＞∣∣AB∣∣
其中真命题的个数为（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
6．已知一元二次方程ax2＋bx＋c=0两根为x1 、x2 ,x2+x1 =-,x2.x1 =.如果抛物线y＝ax2＋bx＋c经过点（1,2）,若abc＝4,且a≥b≥c,则|a|＋|b|＋|c|的最小值为（ ）.
A．5 B．6 C．7 D．8
二、填空题（每题5分,共35分）
7．已知,y=4cosxsinx＋2cosx－2sinx－1,0≤x≤90°.问x为__________值时,y可以取非负值.
8．有一块半径为R的半圆形钢板,计划剪裁成等腰梯形ABCD的形状,它的下底AB是圆O的直径,且底CD的端点在圆周上,试写出梯形周长y和腰长x的函数关系式__________.
9．在⊿ABC中,AB＝15,AC＝13,BC边上的高AD＝12,能完全覆盖⊿ABC的圆的半径R的最小值为____________.
10．如图,李华晚上在路灯下散步．已知李华的身高AB=h,灯柱的高OP= , 若李华在点A朝着影子的方向以v1匀速行走,则他影子的顶端在地面上移动的速度v2为____________.
11．如图,延长四边形ABCD的四边分别至E、F、G、H,使AB＝nBE,BC＝nCF,CD＝nDG,DA＝nAH(n＞0),则四边形EFGH与四边形ABCD的面积之比为____________(用含n的代数式表示)．
12．已知中,是其最小的内角,过顶点的一条直线把这个三角形分割成了两个等腰三角形,请探求与之间的关系为____________．
13．设以边形A1A2A3…An中,有m个点B1,B2,B3,…,Bm,连接它们成一张互相毗邻的三角形网(n=6,m=4时的情形如图),称每个小三角形为一个“网眼",求网中共有__________个“网眼” (用含n,m的代数式表示)．
三．解答题（14题12分,15题13分,16题14分,17题16分,共55分）
14．（12分）有10个不同的球,其中有2个红球,3个白球,5个黄球.若取得1个红球得5分；取得1个白球得2分；1个黄球得1分.今从中取出5个球,求使总分大于10分且小于15分的取法有多少中?

15．（13分）在两个三角形的六对元素（三对角与三对边）中,即使有五对元素对应相等,这两个三角形也未必全等.
⑴试给出一个这样的例子,画出简图,分别标出两个三角形的边长.
⑵为了把所有这样的反例都构造出来,试探求并给出构造反例的一般规律（要求过程完整,述理严密,结论明晰）.
16. （14分）对于某一自变量为x的函数,若当x=x0时,其函数值也为x0,则称点(x0,x0)为此函数的不动点．现有函数y=,
(1)若y=有不动点(4,4),(一4,-4),求a,b．
(2)若函数y=的图像上有两个关于原点对称的不动点,求实数a,b应满足的条件．
(3)已知a=4时,函数y=仍有两个关于原点对称的不动点,则此时函数y=
的图像与函数y= 的图像有什么关系?与函数y= 的图像又有什么关系?
17．（16分）
(1)如图,直线AB交x轴于点A(2,0),交抛物线y＝ax2于点B(1,),点C到△OAB各顶点的距离相等,直线AC交y轴于点D.当x＞0时,在直线OC和抛物线y＝ax2上是否分别存在点P和点Q,使四边形DOPQ为特殊的梯形?若存在,求点P、Q的坐标；若不存在,说明理由.
(2)：在(1)题中,抛物线的解析式和点D的坐标不变(如图).当x＞0时,在直线y＝kx(0＜k＜1)和这条抛物线上,是否分别存在点P和点Q,使四边形DOPQ为以OD为底的等腰梯形.若存在,求点P、Q的坐标；若不存在,说明理由.
参考答案
一、选择题1-6：ADDBBB
二、填空题7：0≤x≤30° 8：y=-x2/R+2x+4R 9：7.5 10：
11：(n2+2n+2)：n 12： 或
或,为小于的任意锐角或．
13：S(n,m)=n+2m-2
14：设取红球、白球、黄球分别为x, y, z个,0≤x≤2,0≤y≤3,0≤z≤5
则10＜5x＋2y＋z＜15,x＋ y＋z＝5,分类：
当x＝0时,y不存在
当x＝1时,1＜y＜6,取y＝2,3
当x＝2时,－3＜y＜2,取y＝0,1
取法总数为110种
15：⑴如下图,△ABC与△是相似的（相似比为）,但它们并不全等,显然它们之中有五对元素是对应相等的.
⑵容易知道,要构造的两个三角形必不是等腰三角形,同时它们应是相似的.
设小△ABC的三边长分别为a、b、c,且不妨设a＜b＜c,由小△ABC到大△的相似比为k,则k＞1.
∵ △的三边长分别为ka、kb、kc,且a＜ka＜kb＜kc
∴ 在△ABC中,与△中两边对应相等的两条边只可能是b与c
∵ b＜c＜kc
∴ 在△中,与b、c对应相等的两条边只可能是ka、kb
∴
∴ 由a到b、由b到c应具有相同的放大系数（用高中的数学语言来讲,a、b、c成公比为k的等比数列）,这个系数恰为△ABC与△的相似比k.
下面考虑相似比k所受到的限制：
∵ △ABC的三边长分别为,且a＞0,k＞1
∴
解之得 1＜k＜ （注：≈1.168）
因此构造反例时,只要先选取一个正数a作为△ABC最小边的长,再设定一个1～1.168之间的放大系数k,从而写出另外两条边的长.然后在△ABC的基础上,以前面的放大系数k为相似比,再写出另一个△的三边长.通过这种方法,可以构造出大量符合题意的反例.
16：(1)由题意,得解得
(2)令=x,得3x+a=x2+bx(x≠-b)
即 x2+(b—3)x-a=O．
设方程的两根为x1,x2,则两个不动点(x1,x2),(x2,x2),由于它们关于原点对称,所以x1+x2=0,
∴,解得,
又因为x≠-b,即 x≠-3,所以以a≠9,
因此a,b满足条件a>0且a≠9,b=3．
(3)由(2)知b=3,此时函数为y=,
即y=3-．
∴ 函数y=的图像可由y=-的图像向上平移3个单位得到．
又函数y=-的图像可由函数y=-的图像向左平移3个单位得到,
所以函数y=的图像可由函数y=-的图像向左平移3个单位,再向上平移3个单位得到．
17：如图(1) AB:y=- x+2 3
Y= 3 X2
E(1,0) C(1, 3 /3) OC: Y= 3/3 x
AC:Y= Y= 3/3 x +2 3 /2
OD=2 3 / 3当
OD PQ 时 ,(1)DQ=OP时,四边形DOPQ为等腰梯形如图(1)
由题意得,三角形OCD为等边三角形,所以Q是AD与抛物线的交点
- 3 /3 x+2 3 /3 = 3 x2
Q(2/3,4 3 /9),P(2/3,2 3 /9)
(2)∠ODQ=900时,四边形DOPQ为直角梯形如图(2)√
Q(√6 /3,2√3 /3)P(√6 /3, √2 /3)
当DQ//OP时
OD=PQ P(2,2√3 /3)
∠OPQ=900时 P(3/2, √3 /2)
所以P1(2/3,2√3 /9),Q1(2/3,4√3 /9),P2(2,2√3 /3),Q2（ 1,√3）,P3(√6 /3, √2 /3) Q4(√6 /3,2√3 /3), P4(3/2, √3 /2),Q4(1, √3 )
(2)
Q(√3(-K+√K2+8)/6, √3(K2-K√K2+8+4)/6)
P(√3(-K+√K2+8)/6, √3(-K2+K√K2+8)/6)