初中数学题：如图,△ABC是等边三角形,点D是边BC上的一点,以AD为边作等边△ADE,过点C作CF∥DE交AB于点F如图,△ABC是等边三角形,点D是边BC上的一点,以AD为边作等边△ADE,过点C作CF∥DE交AB于点F．（

初中数学题：如图,△ABC是等边三角形,点D是边BC上的一点,以AD为边作等边△ADE,过点C作CF∥DE交AB于点F如图,△ABC是等边三角形,点D是边BC上的一点,以AD为边作等边△ADE,过点C作CF∥DE交AB于点F．（
初中数学题：如图,△ABC是等边三角形,点D是边BC上的一点,以AD为边作等边△ADE,过点C作CF∥DE交AB于点F
如图,△ABC是等边三角形,点D是边BC上的一点,以AD为边作等边△ADE,过点C作CF∥DE交AB于点F．
（1）若点D是BC边的中点（如图①）,求证：EF=CD；
（2）在（1）的条件下直接写出△AEF和△ABC的面积比；
（3）若点D是BC边上的任意一点（除B、C外如图②）,那么（1）中的结论是否仍然成立?若成立,请给出证明；若不成立,请说明理由．
求第三问就好了,前面两问没有问题,谢谢

初中数学题：如图,△ABC是等边三角形,点D是边BC上的一点,以AD为边作等边△ADE,过点C作CF∥DE交AB于点F如图,△ABC是等边三角形,点D是边BC上的一点,以AD为边作等边△ADE,过点C作CF∥DE交AB于点F．（
（1）证明：∵△ABC是等边三角形,D是BC的中点,
∴AD⊥BC,且∠DAB=12∠BAC=30°,
∵△AED是等边三角形,
∴AD=AE,∠ADE=60°,
∴∠EDB=90°-∠ADE=90°-60°=30°,
∵ED∥CF,
∴∠FCB=∠EDB=30°,
∵∠ACB=60°,
∴∠ACF=∠BAD=30°,
又∵∠B=∠FAC=60°,AB=CA,
∴△ABD≌△CAF,
∴AD=CF,
∵AD=ED,
∴ED=CF,
又∵ED∥CF,
∴四边形EDCF是平行四边形,
∴EF=CD．
（2）△AEF和△ABC的面积比为：1：4；
（3）成立．
理由如下：∵ED∥FC,
∴∠EDB=∠FCB,
∴∠ACF=∠ACB-∠FCB=60°-∠FCB,=60°-∠EDB,
∴∠ACF=∠BAD,
又∵∠B=∠FAC=60°,AB=CA,
∴△ABD≌△CAF,
∴AD=FC,
∵AD=ED,
∴ED=CF,
又∵ED∥CF,
∴四边形EDCF是平行四边形,
∴EF=DC．
（1）根据△ABC和△AED是等边三角形,D是BC的中点,ED∥CF,求证△ABD≌△CAF,进而求证四边形EDCF是平行四边形即可；
（2）在（1）的条件下可直接写出△AEF和△ABC的面积比；
（3）根据ED∥FC,得出∠ACF=∠BAD,求证△ABD≌△CAF,得出ED=CF,进而求证四边形EDCF是平行四边形,即可证明EF=DC

（1）（2）略
（3）EF=CD仍然成立
∵CF∥DE
∴∠ EDB=∠FCB
∵∠AFC=∠B+∠FCB=60°+∠FCB
∠BDA=∠EDA+∠EDB=60°+∠EDB
∴∠ AFC= ∠BDA
又∠B=∠FAC=60°
∴⊿BDA ≌⊿AFC
∴FC=AD=ED
∴FC//且=AD
四边形CDEF是平行四边形
EF=CD

(1)
∵△ABC是等边三角形
∴AB=AC=BC
又∵D、E、F是三边的中点
∴DE、DF、EF为△ABC的中位线
∴DE=DF=EF，∴∠FDE=∠DFE＝60°
∵△DMN是等边三角形
∴∠MDN＝60°，DM=DN
∴∠FDE＋∠NDF=∠MDN+∠NDF
∴∠MDF=∠NDE
在△DMF和△DNE中，D...

全部展开

(1)
∵△ABC是等边三角形
∴AB=AC=BC
又∵D、E、F是三边的中点
∴DE、DF、EF为△ABC的中位线
∴DE=DF=EF，∴∠FDE=∠DFE＝60°
∵△DMN是等边三角形
∴∠MDN＝60°，DM=DN
∴∠FDE＋∠NDF=∠MDN+∠NDF
∴∠MDF=∠NDE
在△DMF和△DNE中，DF=DE，∠MDF=∠NDE， DM=DN
∴△DMF≌△DNE
∴MF=NE
设EN与BC交点为P，连结NF
由△ABC是等边三角形且D、F分别是AB、BC的中点可得△DBF是等边三角形
∴∠MDN=∠BDF＝60°
∴∠MDN－∠BDN =∠BDF－∠BDN
即∠MDB=∠NDF
在△DMB和△DNF中，DM=DN，∠MDB=∠NDF，DB=DF
∴△DMB≌△DNF
∴∠DBM=∠DFN
∵∠ABC =60°
∴∠DBM =120°
∴∠NFD =120°
∴∠NFD+∠DFE =120°+60°=180°
∴N、F、E三点共线
∴F与P重合
∴F在直线NE上
(2)
成立
∵△ABC是等边三角形
∴AB=AC=BC
又∵D，E，F是三边的中点
∴DE，DF，EF为△ABC的中位线
∴DE=DF=EF，∠FDE=60°
又∠MDF+∠FDN=60°
∠NDE+∠FDN=60°
∴∠MDF=∠NDE
在△DMF和△DNE中，DF=DE,∠MDF=∠NDE， DM=DN
∴△DMF≌△DNE
∴MF=NE
（3） MF=NE仍成立

收起

任然成立，始终证明四边形DEFC为平行四边形。

(1)
∵△ABC是等边三角形
∴AB=AC=BC
又∵D、E、F是三边的中点
∴DE、DF、EF为△ABC的中位线
∴DE=DF=EF，∴∠FDE=∠DFE＝60°
∵△DMN是等边三角形
∴∠MDN＝60°，DM=DN
∴∠FDE＋∠NDF=∠MDN+∠NDF
∴∠MDF=∠NDE
在△DMF和△DNE中，D...

全部展开

(1)
∵△ABC是等边三角形
∴AB=AC=BC
又∵D、E、F是三边的中点
∴DE、DF、EF为△ABC的中位线
∴DE=DF=EF，∴∠FDE=∠DFE＝60°
∵△DMN是等边三角形
∴∠MDN＝60°，DM=DN
∴∠FDE＋∠NDF=∠MDN+∠NDF
∴∠MDF=∠NDE
在△DMF和△DNE中，DF=DE，∠MDF=∠NDE， DM=DN
∴△DMF≌△DNE
∴MF=NE
设EN与BC交点为P，连结NF
由△ABC是等边三角形且D、F分别是AB、BC的中点可得△DBF是等边三角形
∴∠MDN=∠BDF＝60°
∴∠MDN－∠BDN =∠BDF－∠BDN
即∠MDB=∠NDF
在△DMB和△DNF中，DM=DN，∠MDB=∠NDF，DB=DF
∴△DMB≌△DNF
∴∠DBM=∠DFN
∵∠ABC =60°
∴∠DBM =120°
∴∠NFD =120°
∴∠NFD+∠DFE =120°+60°=180°
∴N、F、E三点共线
∴F与P重合
∴F在直线NE上
(2)
成立
∵△ABC是等边三角形
∴AB=AC=BC
又∵D，E，F是三边的中点
∴DE，DF，EF为△ABC的中位线
∴DE=DF=EF，∠FDE=60°
又∠MDF+∠FDN=60°
∠NDE+∠FDN=60°
∴∠MDF=∠NDE
在△DMF和△DNE中，DF=DE,∠MDF=∠NDE， DM=DN
∴△DMF≌△DNE
∴MF=NE
（3）成立．
理由如下：∵ED∥FC，
∴∠EDB=∠FCB，
∴∠ACF=∠ACB-∠FCB=60°-∠FCB，=60°-∠EDB，
∴∠ACF=∠BAD，
又∵∠B=∠FAC=60°，AB=CA，
∴△ABD≌△CAF，
∴AD=FC，
∵AD=ED，
∴ED=CF，
又∵ED∥CF，
∴四边形EDCF是平行四边形，
∴EF=DC．
（1）根据△ABC和△AED是等边三角形，D是BC的中点，ED∥CF，求证△ABD≌△CAF，进而求证四边形EDCF是平行四边形即可；
（2）在（1）的条件下可直接写出△AEF和△ABC的面积比；
（3）根据ED∥FC，得出∠ACF=∠BAD，求证△ABD≌△CAF，得出ED=CF，进而求证四边形EDCF是平行四边形，即可证明EF=DC

收起