一次函数的知识

一次函数的知识
一次函数的知识

一次函数的知识
.正比例函数与一次函数的关系：正比例函数是当y=kx+b中b=0时特殊的一次函数.
2.待定系数法确定正比例函数、一次函数的解析式：通常已知一点便可用待定系数法确定出正比例函数的解析式,已知两点便可确定一次函数解析式.
3.一次函数的图像：正比例函数y=kx(k≠0)是过(0,0),(1,k)两点的一条直线；一次函数y=kx+b(k≠0)是过(0,b),( ,0)两点的一条直线.
4.直线y=kx+b(k≠0)的位置与k、b符号的关系：当k>0是直线y=kx+b过第一、三象限,当k0直线交y轴于正半轴,b

基本定义
　　变量：变化的量（不可取不同值） 　　常量：会变的量（不固定） 　　自变量k和X的一次函数y有如下关系： 　　1.y=kx+b （k为任意不为0的常数，b为任意常数） 　　当x取一个值时，y有且只有一个值与x对应。如果有2个及以上个值与x对应时，就不是一次函数。 　　x为自变量，y为函数值，k为常数，y是x的一次函数。 　　特别的，当b=0时，y是x的正比例函数。即：y=kx ...

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基本定义
　　变量：变化的量（不可取不同值） 　　常量：会变的量（不固定） 　　自变量k和X的一次函数y有如下关系： 　　1.y=kx+b （k为任意不为0的常数，b为任意常数） 　　当x取一个值时，y有且只有一个值与x对应。如果有2个及以上个值与x对应时，就不是一次函数。 　　x为自变量，y为函数值，k为常数，y是x的一次函数。 　　特别的，当b=0时，y是x的正比例函数。即：y=kx （k为常量，但K≠0）正比例函数图像经过原点。 　　定义域：自变量的取值范围，自变量的取值应使函数有意义；要与实际相符合。编辑本段相关性质
　　函数性质： 　　1.y的变化值与对应的x的变化值成正比例，比值为k. 　　即：y=kx+b（k，b为常数，k≠0）， 　　∵当x增加m，k（x+m)+b=y+km,km/m=k。 　　2.当x=0时，b为函数在y轴上的点,坐标为(0，b)。 　　3当b=0时(即 y=kx)，一次函数图像变为正比例函数，正比例函数是特殊的一次函数。 　　4.在两个一次函数表达式中： 　　当两一次函数表达式中的k相同，b也相同时，两一次函数图像重合； 　　当两一次函数表达式中的k相同，b不相同时，两一次函数图像平行； 　　当两一次函数表达式中的k不相同，b不相同时，两一次函数图像相交； 　　当两一次函数表达式中的k不相同，b相同时，两一次函数图像交于y轴上的同一点（0，b）。 　　若两个变量x,y间的关系式可以表示成Y=KX+b(k,b为常数，k不等于0）则称y是x的一次函数
图像性质
　　1．作法与图形：通过如下3个步骤： 　　（1）列表. 　　（2）描点；[一般取两个点,根据“两点确定一条直线”的道理，也可叫“两点法”。 　　一般的y=kx+b(k≠0）的图象过（0，b）和（-b/k，0）两点画直线即可。 　　正比例函数y=kx(k≠0）的图象是过坐标原点的一条直线，一般取（0,0）和（1，k）两点。 　　（3）连线，可以作出一次函数的图象——一条直线。因此，作一次函数的图象只需知道2点，并连成直线即可。（通常找函数图象与x轴和y轴的交点分别是-k分之b与0，0与b）. 　　2．性质：（1）在一次函数上的任意一点P（x，y），都满足等式：y=kx+b(k≠0)。（2）一次函数与y轴交点的坐标总是（0，b)，与x轴总是交于（-b/k，0）正比例函数的图像都是过原点。 　　3．函数不是数，它是指某一变化过程中两个变量之间的关系。 　　4．k，b与函数图像所在象限： 　　y=kx时（即b等于0，y与x成正比例)： 　　当k>0时，直线必通过第一、三象限，y随x的增大而增大； 　　当k<0时，直线必通过第二、四象限，y随x的增大而减小。 　　y=kx+b时： 　　当 k>0,b>0, 这时此函数的图象经过第一、二、三象限； 　　当 k>0,b<0, 这时此函数的图象经过第一、三、四象限； 　　当 k<0,b>0, 这时此函数的图象经过第一、二、四象限； 　　当 k<0,b<0, 这时此函数的图象经过第二、三、四象限； 　　当b>0时，直线必通过第一、二象限； 　　当b<0时，直线必通过第三、四象限。 　　特别地，当b=0时，直线通过原点O（0，0）表示的是正比例函数的图像。 　　这时，当k>0时，直线只通过第一、三象限，不会通过第二、四象限。当k<0时，直线只通过第二、四象限，不会通过第一、三象限。 　　4、特殊位置关系： 　　当平面直角坐标系中两直线平行时，其函数解析式中K值（即一次项系数）相等 　　当平面直角坐标系中两直线垂直时，其函数解析式中K值互为负倒数（即两个K值的乘积为-1） 　　） ③点斜式　y-y1=k(x-x1)（k为直线斜率,(x1,y1)为该直线所过的一个点）④两点式　(y-y1) / (y2-y1)=(x-x1)/(x2-x1)（已知直线上（x1,y1）与（x2,y3）两点） ⑤截距式　（a、b分别为直线在x、y轴上的截距）⑥实用型 （由实际问题来做）
解析式表达局限性
　　①所需条件较多（3个点，因为使用待定系数法需要列一个三元一次方程组） 　　②、③不能表达没有斜率的直线（即垂直于x轴的直线；注意“没有斜率的直线平行于y轴”表述不准，因为x=0与y轴重合） 　　④参数较多，计算过于烦琐； 　　⑤不能表达平行于坐标轴的直线和过原点的直线。
倾斜角的概念
　　x轴到直线的角（直线与x轴正方向所成的角）称为直线的倾斜角。设一直线的倾斜角为α，则该直线的斜率k=tanα。倾斜角的范围为[0, π)。编辑本段与二元一次方程的关系
　　1.(1)以二元一次方程组ax+by=c的解为坐标的点组成的图象与一次函数 　　y=-a/bx+c/d的图象相同. 　　(2)二元一次方程组{a1x+b1y=c1, 　　a2x+b2y=c2的解可以看作是两个一次函数 　　y=-a1/b1x+c1/d1和y=-a2/b2x+c2/d2的图象的交点. 　　方法小结: 　　把方程组中的两个二元一次方程改写成一次函数的形式,然后作出它们的图象,找出两图象的交点,即可知方程组的解.
一、区别和联系
　　区别：二元一次方程有两个未知数，而一次函数只是说未知数的次数为一次，并未限定几个变量，因此二元一次方程只是一次函数中的一种。 　　联系：（1）在平面直角坐标系中分别描绘出以二元一次方程的解为坐标的点，这些点都在相应的一次函数的图象上。如方程2x+y=5有无数组解，像x=1，y=3；x=2，y=1；…以这些解为坐标的点(1,3)(2,1）…都在一次函数y=－2x+5的图象上. （2）在一次函数图象上任取一点，它的坐标都适合相应的二元一次方程.如在一次函数y=－x+2的图象上任取一点（－3，3），则x=-3，y=3一定是二元一次方程x+y=2的一组解. 　　所以，以二元一次方程的解为坐标的所有点组成的图象与相应的一次函数的图象是相同的。
二、两个本函数图象交点与方程组解的联系
　　在同一平面直角坐标系中，两个一次函数图象的交点坐标就是相应的二元一次方程组的解。反过来，以二元一次方程组的解为坐标的点，一定是相应的两个一次函数的图象的交点。
三、方程组无解时相应函数图象的关系
　　当二元一次方程组无解时，相应的两个一次函数在平面直角坐标系中的图象就没有交点，即两个一次函数图象平行。反过来，当两个一次函数图象平行时，相应的二元一次方程组就无解。如二元一次方程组3x-y=5，3x-y=-1无解，则一次函数y=3x－5与y=3x+1的图象平行，反之也成立。
四、用作图的方法解二元一次方程组
　　用作图的方法解二元一次方程组，一般有下列几个步骤：（1）将相应的二元一次方程改写成一次函数的解析式；（2）在同一平面直角坐标系内作出这两个一次函数的图象；（3）找出图象的交点坐标，即得二元一次方程组的解。
五、用二元一次方程组确定本函数解析式
　　在实际应用中，常常利用待定系数法构造二元一次方程组，从而确定一次函数的解析式。 　　例：某航空公司规定，乘客可以免费携带一定质量的行李，但超过该质量则需购买行李票，且行李费y（元）是行李质量x（kg）的一次函数。现知王芳带了30 kg的行李，买了50元行李票。李刚带了40 kg的行李，买了100元行李票。那么，乘客最多可免费携带多少千克的行李？ 　　依题意，可设一次函数的解析式为y=kx+b。则可得二元一次方程组50=30k+b，100=40k+b。解得k=5，b=-100，即一次函数的解析式是y=5x－100。当x=20时，y=0。所以乘客最多可免费携带20 kg的行李。编辑本段常用公式
　　1.求函数图像的k值：（y1-y2)/(x1-x2) 　　2.求与x轴平行线段的中点：|x1-x2|/2 　　3.求与y轴平行线段的中点：|y1-y2|/2 　　4.求任意线段的长：√(x1-x2)^2+(y1-y2)^2 （注：根号下（x1-x2)与（y1-y2)的平方和） 　　5.求两个一次函数式图像交点坐标：解两函数式 　　两个一次函数 y1=k1x+b1 y2=k2x+b2 令y1=y2 得k1x+b1=k2x+b2 将解得的x=x0值代回y1=k1x+b1 y2=k2x+b2 两式任一式 得到y=y0 则(x0,y0)即为 y1=k1x+b1 与 y2=k2x+b2 交点坐标 　　6.求任意2点所连线段的中点坐标：[（x1+x2）/2，（y1+y2）/2] 　　7.求任意2点的连线的一次函数解析式：（X-x1）/(x1-x2)=(Y-y1)/(y1-y2) (其中分母为0，则分子为0) 　　x y 　　+， +（正，正）在第一象限 　　- ，+ （负，正）在第二象限 　　- ，- （负，负）在第三象限 　　+ ，- （正，负）在第四象限 　　8.若两条直线y1=k1x+b1∥y2=k2x+b2，那么k1=k2，b1≠b2 　　9.如两条直线y1=k1x+b1⊥y2=k2x+b2，那么k1×k2=-1 　　10. 　　y=k（x-n）+b就是向右平移n个单位 　　y=k（x+n）+b就是向左平移n个单位
一次函数的平移
口诀：右减左加（对于y=kx+b来说，只改变b） 　　y=kx+b+n就是向上平移n个单位 　　y=kx+b-n就是向下平移n个单位 　　口诀：上加下减（对于y=kx+b来说，只改变b）相关应用
生活中的应用
　　1.当时间t一定，距离s是速度v的一次函数。s=vt。 　　2.当水池抽水速度f一定，水池中水量g是抽水时间t的一次函数。设水池中原有水量S。g=S-ft。 　　3.当弹簧原长度b（未挂重物时的长度）一定时，弹簧挂重物后的长度y是重物重量x的一次函数，即y=kx+b（k为任意正数）
数学问题
　　一、确定字母系数的取值范围 　　例1 已知正比例函数 ，则当k<0时，y随x的增大而减小。 　　根据正比例函数的定义和性质，得 且m<0，即 且 ，所以 。 　　二、比较x值或y值的大小 　　例2. 已知点P1（x1，y1）、P2（x2，y2）是一次函数y=3x+4的图象上的两个点，且y1>y2，则x1与x2的大小关系是（ ） 　　A. x1>x2 B. x10，且y1>y2。根据一次函数的性质“当k>0时，y随x的增大而增大”，得x1>x2。故选A。 　　三、判断函数图象的位置 　　例3. 一次函数y=kx+b满足kb>0，且y随x的增大而减小，则此函数的图象不经过（ ） 　　A. 第一象限 B. 第二象限 　　C. 第三象限 D. 第四象限 　　由kb>0，知k、b同号。因为y随x的增大而减小，所以k<0。所以b<0。故一次函数y=kx+b的图象经过第二、三、四象限，不经过第一象限。故选A .
典型例题
　　例1. 一个弹簧，不挂物体时长12cm,挂上物体后会伸长，伸长的长度与所挂物体的质量成正比例.如果挂上3kg物体后，弹簧总长是13.5cm，求弹簧总长是y(cm)与所挂物体质量x(kg)之间的函数关系式.如果弹簧最大总长为23cm，求自变量x的取值范围. 　　分析：此题由物理的定性问题转化为数学的定量问题，同时也是实际问题，其核心是弹簧的总长是空载长度与负载后伸长的长度之和，而自变量的取值范围则可由最大总长→最大伸长→最大质量及实际的思路来处理. 　　由题意设所求函数为y=kx+12 　　则13.5=3k+12，得k=0.5 　　∴所求函数解析式为y=0.5x+12 　　由23=0.5x+12得：x=22 　　∴自变量x的取值范围是0≤x≤22 　　例2 某学校需刻录一些电脑光盘，若到电脑公司刻录，每张需8元，若学校自刻，除租用刻录机120元外，每张还需成本4元，问这些光盘是到电脑公司刻录，还是学校自己刻费用较省？ 　　此题要考虑X的范围 　　解:设总费用为Y元，刻录X张 　　电脑公司：Y1=8X 　　学校 ：Y2=4X+120 　　当X=30时，Y1=Y2 　　当X>30时，Y1>Y2 　　当X<30时，Y10，则可以列方程组 -2k+b=-11 　　6k+b=9 　　解得k=2.5 b=-6 ，则此时的函数关系式为y=2.5x—6 　　（2）若k<0，则可以列方程组 -2k+b=9 　　6k+b=-11 　　解得k=-2.5 b=4，则此时的函数解析式为y=-2.5x+4 　　【考点指要】 　　　此题主要考察了学生对函数性质的理解，若k>0，则y随x的增大而增大；若k<0，则y随x的增大而减小。
综合测试
　　一、　选择题： 　　1. 若正比例函数y=kx的图象经过一、三象限，则k的取值范围是（ ） 　　A.k≠0 B.k<0 C.k>0 D.k为任意值　 　　2. 一根蜡烛长20cm，点燃后每小时燃烧5cm，燃烧时剩下的高度y（cm）与燃烧时间x（小时）的函数关系用图象表示为（ ） 　　3. （北京市）一次函数 的图象不经过的象限是（ ） 　　A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 　　4. （陕西省课改实验区）直线 与x轴、y轴所围成的三角形的面积为（ ） 　　A. 3 B. 6 C. D. 　　5. （海南省）一次函数 的大致图象是（ ） 　　二、　填空题： 　　1. 若一次函数y=kx+b的图象经过（0，1）和（－1，3）两点，则此函数的解析式为_____________. 　　2. （2006年北京市中考题）若正比例函数y=kx的图象经过点（1，2），则此函数的解析式为_____________. 　　三、 　　一次函数的图象与y轴的交点为（0，－3），且与坐标轴围成的三角形的面积为6，求这个一次函数的解析式. 　　四、（芜湖市课改实验区） 　　某种内燃动力机车在青藏铁路试验运行前，测得该种机车机械效率η和海拔高度h（ ，单位km）的函数关系式如图所示. 　　（1）请你根据图象写出机车的机械效率η和海拔高度h（km）的函数关系； 　　（2）求在海拔3km的高度运行时，该机车的机械效率为多少？ 　　五、（浙江省丽水市） 　　如图建立羽毛球比赛场景的平面直角坐标系，图中球网高OD为1.55米，双方场地的长OA=OB=6.7（米）.羽毛球运动员在离球网5米的点C处起跳直线扣杀，球从球网上端的点E直线飞过，且DE为0.05米，刚好落在对方场地点B处. 　　（1）求羽毛球飞行轨迹所在直线的解析式； 　　（2）在这次直线扣杀中，羽毛球拍击球点离地面的高度FC为多少米？（结果精确到0.1米） 　　【综合测试答案】 　　　一、选择题： 　　1. C 2. B 3. D 4. A 5. B 　　二、填空题： 　　1=-2x+1 2. y=2x 　　三、分析：一次函数的解析式y=kx+b有两个待定系数，需要利用两个条件建立两个方程.题目中一个条件比较明显，即图象和y轴的交点的纵坐标是－3，另一个条件比较隐蔽，需从“和坐标轴围成的面积为6”确定. 　　设一次函数的解析式为 y=kx+b， 　　∵函数图象和y轴的交点的纵坐标是－3， 　　∴ 　　∴函数的解析式为 . 　　求这个函数图象与x轴的交点，即解方程组： 　　得 　　即交点坐标为（ ，0） 　　由于一次函数图象与两条坐标轴围成的直角三角形的面积为6，由三角形面积公式，得 　　∴ 　　∴ 　　∴这个一次函数的解析式为 　　四、（1）由图象可知， 与h的函数关系为一次函数 　　设 　　∵此函数图象经过（0，40%），（5，20%）两点 　　∴ 解得 　　∴ 　　（2）当h=3km时， 　　∴当机车运行在海拔高度为3km的时候，该机车的机械效率为28% 　　五、（1）依题意，设直线BF为y=kx+b 　　∵OD=1.55，DE=0.05 　　∴ 　　即点E的坐标为（0，1.6） 　　又∵OA=OB=6.7 　　∴点B的坐标为（－6.7，0） 　　由于直线经过点E（0，1.6）和点B（－6.7，0），得 　　解得 ，即 ： 　　（2）设点F的坐标为（5，），则当x=5时， 　　则FC=2.8 　　∴在这次直线扣杀中，羽毛球拍击球点离地面的高度是2.8米
常见题型
　　常见题型一次函数及其图像是初中代数的重要内容，也是高中解析几何的基石，更是中考的重点考查内容。其中求一次函数解析式就是一类常见题型。现以部分中考题为例介绍几种求一次函数解析式的常见题型。希望对大家的学习有所帮助。 　　一. 定义型 例1. 已知函数 是一次函数，求其解析式。 由一次函数定义知 ，故一次函数的解析式为 注意：利用定义求一次函数 解析式时，要保证 。如本例中应保证 　　二. 点斜型 例2. 已知一次函数 的图像过点（2，－1），求这个函数的解析式。 一次函数 的图像过点（2，－1） ，即 故这个一次函数的解析式为 变式问法：已知一次函数 ，当 时，y=－1，求这个函数的解析式。 　　三. 两点型 已知某个一次函数的图像与x轴、y轴的交点坐标分别是（－2，0）、（0，4），则这个函数的解析式为_____________。 设一次函数解析式为 由题意得 故这个一次函数的解析式为 　　四. 图像型 例4. 已知某个一次函数的图像如图所示，则该函数的解析式为__________。 设一次函数解析式为 由图可知一次函数 的图像过点（1，0）、（0，2） 有 故这个一次函数的解析式为 　　五. 斜截型 例5. 已知直线 与直线 平行，且在y轴上的截距为2，则直线的解析式为___________。 解析：两条直线 ： ； ： 。当 ， 时， 直线 与直线 平行， 。 又 直线 在y轴上的截距为2， 故直线的解析式为 　　六. 平移型 例6. 把直线 向下平移2个单位得到的图像解析式为___________。 解析：设函数解析式为 ， 直线 向下平移2个单位得到的直线 与直线 平行 直线 在y轴上的截距为 ，故图像解析式为 七. 实际应用型 例7. 某油箱中存油20升，油从管道中匀速流出，流速为0.2升/分钟，则油箱中剩油量Q（升）与流出时间t（分钟）的函数关系式为___________。 由题意得 ，即 故所求函数的解析式为 （ ） 注意：求实际应用型问题的函数关系式要写出自变量的取值范围。 　　八. 面积型 例8. 已知直线 与两坐标轴所围成的三角形面积等于4，则直线解析式为__________。 易求得直线与x轴交点为（ ，0），所以 ，所以 ，即 故直线解析式为 或 　　九. 对称型 若直线 与直线 关于 （1）x轴对称，则直线l的解析式为 （2）y轴对称，则直线l的解析式为 （3）直线y=x对称，则直线l的解析式为 （4）直线 对称，则直线l的解析式为 （5）原点对称，则直线l的解析式为 例9. 若直线l与直线 关于y轴对称，则直线l的解析式为____________。 由（2）得直线l的解析式为 　　十. 开放型 例10. 已知函数的图像过点A（1，4），B（2，2）两点，请写出满足上述条件的两个不同的函数解析式，并简要说明解答过程。 （1）若经过A、B两点的函数图像是直线，由两点式易得 （2）由于A、B两点的横、纵坐标的积都等于4，所以经过A、B两点的函数图像还可以是双曲线，解析式为 （3）其它（略） 　　十一. 几何型 例11. 如图，在平面直角坐标系中，A、B是x轴上的两点， ， ，以AO、BO为直径的半圆分别交AC、BC于E、F两点，若C点的坐标为（0，3）。（1）求图像过A、B、C三点的二次函数的解析式，并求其对称轴；（2）求图像过点E、F的一次函数的解析式。 （1）由直角三角形的知识易得点A（ ，0）、B（ ，0），由待定系数法可求得二次函数解析式为 ，对称轴是 （2）连结OE、OF，则 、 。过E、F分别作x、y轴的垂线，垂足为M、N、P、G，易求得E（ ， ）、F（ ， ）由待定系数法可求得一次函数解析式为 　　十二. 方程型 例12. 若方程 的两根分别为 ，求经过点P（ ， ）和Q（ ， ）的一次函数图像的解析式 由根与系数的关系得 ， ， 点P（11，3）、Q（－11，11） 设过点P、Q的一次函数的解析式为 则有 解得 故这个一次函数的解析式为 　　十三. 综合型 例13. 已知抛物线 的顶点D在双曲线 上，直线 经过点D和点C（a、b）且使y随x的增大而减小，a、b满足方程组 ，求这条直线的解析式。 由抛物线 的顶点D（ ）在双曲线上，可求得抛物线的解析式为： ，顶点D1（1，－5）及 顶点D2（ ，－15） 解方程组得 ， 即C1（－1，－4），C2（2，－1） 由题意知C点就是C1（－1，－4），所以过C1、D1的直线是 ；过C1、D2的直线是数学术语.

收起

y=kx+b