在三角形ABC中,AB=AC=5,P为BC边上的任意一点,求证AP·AP+PB·PC=25

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/11/08 04:48:58

在三角形ABC中,AB=AC=5,P为BC边上的任意一点,求证AP·AP+PB·PC=25
在三角形ABC中,AB=AC=5,P为BC边上的任意一点,求证AP·AP+PB·PC=25

在三角形ABC中,AB=AC=5,P为BC边上的任意一点,求证AP·AP+PB·PC=25
证:过A作直线AE⊥BC交BC于E点,设P点在B、E两点之间,已知AB=AC=5,则BE=CE=(PB+PC)/2,
PE=BE-PB=(PB+PC)/2-PB=(PC-PB)/2
在直角△ACE和直角△AEP中,根据勾股定理,得下方程组:
AE^2 +CE^2 =AE^2 +(PB+PC)^2 /4=AC^2=25 .(1)
AE^2 +PE^2 =AE^2 +(PC-PB)^2/4=AP^2 .(2)
(1)-(2)得
(PB+PC)^2 /4-(PC-PB)^2/4=25-AP^2
PB*PC=25-AP^2
故AP^2+PB*PC=25
即AP平方+PB*PC=25