将9个互不相同的自然数填在3x3的正方形格子中,使得每个2x2的正方形中4个数的和恰好等于100.这9个自然数之和的最小值是多少?

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/11/06 07:14:47

将9个互不相同的自然数填在3x3的正方形格子中,使得每个2x2的正方形中4个数的和恰好等于100.这9个自然数之和的最小值是多少?
将9个互不相同的自然数填在3x3的正方形格子中,使得每个2x2的正方形中4个数的和恰好等于100.这9个自然数之和的最小值是多少?

将9个互不相同的自然数填在3x3的正方形格子中,使得每个2x2的正方形中4个数的和恰好等于100.这9个自然数之和的最小值是多少?
2 5 4
9 84 7
1 6 3
这9个自然数之和的最小值是121
中间一个数是公用数,先不管它,周边8个格子先从1--8中选,大数放中间,配不足再看9,10..

Wang网络有

过程
中间一个数是公用数，先不管它，周边8个格子先从1--8中选，大数放中间，配不足再看9,10.。。。

A B C
D E K
G F H
在这个正方形中，E被用了4次，故应是最小自然数0，B,D,K,F,各被用了2次，故最小应分别为1,2,3,4，中的一个，则A,C,G,H,应为97，96，94, 93
和为390

elysir的答案错误。0+4+8+86不等于100。

这样分析：

1. 9个数都小于100，9个数互不相等

2. 3x3的正方形格子可以分成4个2x2的小正方形，将每个正方形的和相加，得到：

A+B+D+E=100

B+C+E+F=100

D+E+G+H=100

E+F+H+I=100

（A+B+C+D+E+F+G+H+I）+（B+3E+F+D+H）=400

3. 求（A+B+C+D+E+F+G+H+I）的最小值，就是求（B+3E+F+D+H）的最大值

4. 由于E的系数是3，所以首先考虑它所能够取到的最大值。

5. 所以与E相加的其它值都取最小值。

6. 重新写算式：4E+（A+C+G+I）+2（B+D+F+H）=400

7. 于是（A+C+G+I）+2（B+D+F+H）取最小值。

8. B+D+F+H取最小值，为0+1+2+3=6。

9. A+C+G+I取最小值，为4+5+6+7=22。

10. 于是4E=400-6*2-22，E=100-8.5，E的最大值为100-9=91

11. 当E=91时，4E=364，（A+C+G+I）+2（B+D+F+H）=400-364=36

12. （B+D+F+H）=（36-24）/2=6

13. 9个自然数之和的最小值（A+B+C+D+E+F+G+H+I）=400-3*91-6=400-273-6= 121

表格的确定方法：

在确认了E取最大值，其他值取最小值后，并且B+D+F+H最小后，确定出B、D、F、H为0、1、2、3，由于A不等于C，G不等于I，所以B+D不能等于F+H，B+F不能等于D+H。由于表格的对称性，可以指定B、D、F、H任何一个为0。假定B=0，则H必然是3，D、F分别是1和2。B、D、F、H的最大两个,2、3之间填入最小数4，即I=4，F+H+I=2+3+4=9，由此可以确定E=100-9=91，A=9-B-D=8，C=9-B-F=7，G=9-D-H=5。于是得到：

8 0 7

1 91 2

5 3 4

这些数之和为121。

前面的分析中有一个错误，就是误认为E越大越好。实际上应该是：E在这9个数中是最大的。

而要求所有的这9个数尽可能地小。

因此应当是A+C+G+I最小，分别为0、1、2、3，这样结果就是

0 8 1

5 87 4

2 6 3

这些数之和为116