高三数学几何请详细解答,谢谢! (13 15:26:30)半径为2的球面上有A,B,C,D四点,且AB,AC,AD两两垂直,则三个三角形面积之和S三角形ABC+S三角形ACD+S三角形ADB的最大值?

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/11/03 05:26:11

高三数学几何请详细解答,谢谢! (13 15:26:30)半径为2的球面上有A,B,C,D四点,且AB,AC,AD两两垂直,则三个三角形面积之和S三角形ABC+S三角形ACD+S三角形ADB的最大值?
高三数学几何请详细解答,谢谢! (13 15:26:30)
半径为2的球面上有A,B,C,D四点,且AB,AC,AD两两垂直,则三个三角形面积之和S三角形ABC+S三角形ACD+S三角形ADB的最大值?

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实际上,点A,B,C,D是一个球的内接长方体的四个顶点,该长方体的体对角线即是球的直径4,设AB=b,AC=c,AD=d.由题设有：b^2+c^2+d^2=16.又三个三角形面积和为S=(bc+bd+cd)/2.因(b-c)^2+(b-d)^2+(c-d)^2≥0.====>(展开整理）b^2+c^2+d^2≥bc+bd+cd.===>16≥2S.====>S≤8,等号仅当b=c=d=4√3/3时取得.故Smax=8.

明显面积最大时就是A,B,C,D为球内接正方体的顶点，
这时S=2

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