作业帮三维空间 向量三维空间内,至多存在几个向量,满足任意两个向量点积小于0?求详解（最好能证明）谢谢~是证明5个不行，4个的例子很好找
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/05 13:33:22
三维空间 向量三维空间内,至多存在几个向量,满足任意两个向量点积小于0?求详解（最好能证明）谢谢~是证明5个不行，4个的例子很好找
三维空间 向量
三维空间内,至多存在几个向量,满足任意两个向量点积小于0?
求详解（最好能证明）谢谢~
是证明5个不行，4个的例子很好找
三维空间 向量三维空间内,至多存在几个向量,满足任意两个向量点积小于0?求详解（最好能证明）谢谢~是证明5个不行，4个的例子很好找
那我就只证5个的不行了.
这需要一丁点儿线性代数（大学）的知识,不难.我先把线性代数的部分写出来：
3维空间中,任意3个不共面的向量v1、v2、v3都构成一个“基”,意思是：
任意其它一个向量v4,都可以用v1、v2、v3这3个向量“表示”,其中表示的意思是：
存在（能找到）实数a1、a2、a3,使得：v4 = a1v1 + a2v2 + a3v3
就这点,不难,也许用中学的知识就推出来,总之知道有这回事就行了.
剩下的与大学内容无关了.
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不妨设5个向量都不共面.根据上面的线性代数的知识：
v4 = a1v1 + a2v2 + a3v3
v5 = b1v1 + b2v2 + b3v3
其中,a1、a2、a3、b1、b2、b3都是实数.所以：
v4 - a1v1 - a2v2 - a3v3 = (0,0,0)
v5 - b1v1 - b2v2 - b3v3 = (0,0,0)
所以：
v4 - a1v1 - a2v2 - a3v3 = v5 - b1v1 - b2v2 - b3v3
我们把这个式子中的v1、v2、v3移项,并合并同类项,使得v1、v2、v3前面的系数都是正数.
谁移到哪边并不重要,不妨设v1、v2移到左边,v3移到右边,也就是：
v4 + c1v1 + c2v2 = v5 + c3v3 (*)
其中,c1、c2、c3都是正的实数.
我们再次强调：谁移到哪边并不重要,重要的是两边至少都各有一项：左边有v4、右边有v5.
下面我们用反证法推出矛盾.
假设v1、v2、v3、v4、v5的相互之间的点积都小于0,
我们考察(*)式左右两侧的点积,也就是：
(v4 + c1v1 + c2v2) (v5 + c3v3)
一方面：由于相互之间点积小于0,所以展开后,各项都是小于0的,所以最后结果应该小于0.
而另一方面：v4 + c1v1 + c2v2 = v5 + c3v3,也就是我们在把两个相同的向量做点积,所以最后结果应该大于0.矛盾,证完了.
四个。设直角坐标系O-XYZ三个轴上的单位向量分别为i、j、k，下面四个向量任意两个向量的点积小于0: A=k； B=(√3/2)i-(1/2)k； C=(-√3/4)i+(3/4)j-(1/2)k； D=(-√3/4)i-(3/4)j-(1/2)k。 AB=-1/2；AC=-1/2；AD=-1/2； BC=-1/8；BD=-1/8；CD=-1/8。是证明5个不行，4个的例子很好找四个。设直角坐标...
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四个。设直角坐标系O-XYZ三个轴上的单位向量分别为i、j、k，下面四个向量任意两个向量的点积小于0: A=k； B=(√3/2)i-(1/2)k； C=(-√3/4)i+(3/4)j-(1/2)k； D=(-√3/4)i-(3/4)j-(1/2)k。 AB=-1/2；AC=-1/2；AD=-1/2； BC=-1/8；BD=-1/8；CD=-1/8。
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