过椭圆x^2/25+y^2/16=1内一点(0,2)的弦的中点的轨迹方程?

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/11/08 20:31:03

过椭圆x^2/25+y^2/16=1内一点(0,2)的弦的中点的轨迹方程?
过椭圆x^2/25+y^2/16=1内一点(0,2)的弦的中点的轨迹方程?

过椭圆x^2/25+y^2/16=1内一点(0,2)的弦的中点的轨迹方程?
设弦的直线方程为y=kx+2,(x1,y1)、(x2,y2)是弦与椭圆的交点,则直线方程与椭圆方程联立得:x^2/25+(kx+2)^2/16=1
16x^2+25(kx+2)^2=16*25
(16+25k^2)x^2+100kx+100-16*25=0
(16+25k^2)x^2+100kx-300=0
x1+x2=-100k/(16+25k^2)
x1*x2=-300/(16+25k^2)
y1+y2=kx1+2+kx2+2=k(x1+x2)+4=64/(16+25k^2)
中点坐标((x1+x2)/2,(y1+y2)/2)
即(-50k/(16+25k^2),32/(16+25k^2))
x=-50k/(16+25k^2),
y=32/(16+25k^2)
x/y=-25k/16,解得k=-16x/25y,代入y=32/(16+25k^2)
解得25y^2-50y+16x^2=0,即为中点的轨迹方程

抛物线

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