作业帮设a.b都是整数,a^2+b^2能被3整数,求证:a和b都能被三整除
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/09 09:46:04
设a.b都是整数,a^2+b^2能被3整数,求证:a和b都能被三整除
设a.b都是整数,a^2+b^2能被3整数,求证:a和b都能被三整除
设a.b都是整数,a^2+b^2能被3整数,求证:a和b都能被三整除
反证法
假设a,b都不能被3整除,设
a=3n+k,b=3m+r(1
设
a=3m+i
b=3n+j
m n都为整数，i,j为a b除3的余数,可能取值为0，1，2
a^2+b^2=9m^2+9n^2+6m+6n+i^2+j^2
因为左边能被3整除，所以右边也能被3整除。
9m^2+9n^2+6m+6n能被3整除，则i^2+j^2也能被3整除。
列表：以i值为行，以j值为列，填写（i^2+j^2）mod 3,即...
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设
a=3m+i
b=3n+j
m n都为整数，i,j为a b除3的余数,可能取值为0，1，2
a^2+b^2=9m^2+9n^2+6m+6n+i^2+j^2
因为左边能被3整除，所以右边也能被3整除。
9m^2+9n^2+6m+6n能被3整除，则i^2+j^2也能被3整除。
列表：以i值为行，以j值为列，填写（i^2+j^2）mod 3,即除3取余
i\j | 0 1 2
----------------
0 | 0 1 1
1 | 1 2 2
2 | 1 2 2
即只有i=j=0时，（i^2+j^2）mod 3=0，因此a和b都能被三整除
收起
设a=3k+d ,b+3m+t d,t属于 0~2 a^2+b^2=9k^2+9m^2+3kd+3mt+d^2+t^2 严正一下 只有当d=0 t=0 时候成立 命题得证
1.若一个整数x是3的倍数,那么x的平方也是3的倍数
若一个整数x不是3的倍数,那么x的平方除以3余1
2.因为a^2+b^2能被3整除
所以不可能a或b的平方除以3余1
那么a,b都是3的倍数