2011年初中数学竞赛试题已知在△ABC中,AB=2AC,∠BAC=60°.P为△ABC中一点,且AP=根号3,BP=5,CP=2,.求△ABC的面积.

2011年初中数学竞赛试题已知在△ABC中,AB=2AC,∠BAC=60°.P为△ABC中一点,且AP=根号3,BP=5,CP=2,.求△ABC的面积.
2011年初中数学竞赛试题
已知在△ABC中,AB=2AC,∠BAC=60°.P为△ABC中一点,且AP=根号3,BP=5,CP=2,.求△ABC的面积.

2011年初中数学竞赛试题已知在△ABC中,AB=2AC,∠BAC=60°.P为△ABC中一点,且AP=根号3,BP=5,CP=2,.求△ABC的面积.
解题思路：
（1）先证明△ABC 是以∠ACB 为直角的直角三角形；
（2）利用作对称图形的方法 求出△ABC的面积.
（1）在线段AB上截取AD=AC
∵ AB=2AC,AD=AC
∴ DB=DC
∴ ∠ABC=∠DCB
∵ AD=AC,且AD与AC的夹角∠BAC=60°
∴ △ADC 是等边三角形
∴ ∠ADC = 60°
∵∠ADC 是等腰△DBC 的一个外角
∴∠ADC = ∠ABC + ∠DCB
= 2∠ABC
则 60° = 2∠ABC
∴ ∠ABC = 30°
而 ∠BAC=60°
∴ 在 △ABC 中,∠ACB = 90°
（2）分别作点P关于AC的对称点P1,
作点P关于AB的对称点P2,
作点P关于BC的对称点P3,
连AP1 连AP2 连P1P2,由对称性 知：
△AP1P2 是等腰三角形,且有AP1 = AP2 = √3,P1P2 = 3,∠P1AP2 = 2∠BAC = 120°
易求得 等腰△P1AP2 的面积为：S△P1AP2 = （3√3）/ 4.
同理,△BP2P3 是等边三角形,且有BP2 = BP3 = P2P3 = 5,∠P2BP3 = 2∠ABC = 60°
易求得等边△BP2P3 的面积为：S△BP2P3 = （25√3）/ 4.
连CP1 连CP3,
则CP1 = CP = 2,CP3 = CP = 2,∠P1CP3 = 2∠ACB = 180°,即P1、C、P3 共线.
在 △P1P2P3 中,P1P2 = 3,P1P3 = 4,P2P3 = 5
∴ △P1P2P3 是Rt△,其面积为：S Rt△P1P2P3 = 6.
∴S△P1AP2 + S△BP2P3 + S Rt△P1P2P3
=（3√3）/ 4 +（25√3）/ 4 + 6
= 7√3 + 6
由对称性 知：
S△AP2B = S△APB
S△BP3C = S△BPC
S△AP1C = S△APC
∴ S△APB + S△BPC + S△APC
= （1/2）× （S△P1AP2 + S△BP2P3 + S Rt△P1P2P3 ）
= （1/2）× （7√3 + 6）
= （7√3 + 6）/ 2
即：△ABC的面积 为 （7√3 + 6）/ 2

（1）在线段AB上截取AD=AC
∵ AB=2AC，AD=AC
∴ DB=DC
∴ ∠ABC=∠DCB
∵ AD=AC，且AD与AC的夹角∠BAC=60°
∴ △ADC 是等边三角形
∴ ∠ADC = 60°
∵∠ADC 是等腰△DBC 的一个外角
∴∠ADC = ∠ABC + ∠DCB
= 2∠...

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（1）在线段AB上截取AD=AC
∵ AB=2AC，AD=AC
∴ DB=DC
∴ ∠ABC=∠DCB
∵ AD=AC，且AD与AC的夹角∠BAC=60°
∴ △ADC 是等边三角形
∴ ∠ADC = 60°
∵∠ADC 是等腰△DBC 的一个外角
∴∠ADC = ∠ABC + ∠DCB
= 2∠ABC
则 60° = 2∠ABC
∴ ∠ABC = 30°
而 ∠BAC=60°
∴ 在 △ABC 中，∠ACB = 90°
（2）分别作点P关于AC的对称点P1，
作点P关于AB的对称点P2，
作点P关于BC的对称点P3，
连AP1 连AP2 连P1P2，由对称性 知：
△AP1P2 是等腰三角形，且有AP1 = AP2 = √3，P1P2 = 3，∠P1AP2 = 2∠BAC = 120°
易求得 等腰△P1AP2 的面积为：S△P1AP2 = （3√3）/ 4。
同理，△BP2P3 是等边三角形，且有BP2 = BP3 = P2P3 = 5，∠P2BP3 = 2∠ABC = 60°
易求得等边△BP2P3 的面积为：S△BP2P3 = （25√3）/ 4。
连CP1 连CP3，
则CP1 = CP = 2， CP3 = CP = 2，∠P1CP3 = 2∠ACB = 180°，即P1、C、P3 共线。
在 △P1P2P3 中，P1P2 = 3， P1P3 = 4，P2P3 = 5
∴ △P1P2P3 是Rt△，其面积为：S Rt△P1P2P3 = 6。
∴S△P1AP2 + S△BP2P3 + S Rt△P1P2P3
=（3√3）/ 4 +（25√3）/ 4 + 6
= 7√3 + 6
由对称性 知：
S△AP2B = S△APB
S△BP3C = S△BPC
S△AP1C = S△APC
∴ S△APB + S△BPC + S△APC
= （1/2）× （S△P1AP2 + S△BP2P3 + S Rt△P1P2P3 ）
= （1/2）× （7√3 + 6）
= （7√3 + 6）/ 2
即：△ABC的面积 为 （7√3 + 6）/ 2

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