作业帮高中数学几何题已知opq是半径为1,圆心角为60度的扇形,C是弧上的动点,ABCD是扇形的内接矩形,记角COP=阿尔法,求当角阿尔法取何值是,矩形面积最大,并求出最大值
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/05 23:23:16
高中数学几何题已知opq是半径为1,圆心角为60度的扇形,C是弧上的动点,ABCD是扇形的内接矩形,记角COP=阿尔法,求当角阿尔法取何值是,矩形面积最大,并求出最大值
高中数学几何题
已知opq是半径为1,圆心角为60度的扇形,C是弧上的动点,ABCD是扇形的内接矩形,记角COP=阿尔法,求当角阿尔法取何值是,矩形面积最大,并求出最大值
高中数学几何题已知opq是半径为1,圆心角为60度的扇形,C是弧上的动点,ABCD是扇形的内接矩形,记角COP=阿尔法,求当角阿尔法取何值是,矩形面积最大,并求出最大值
矩形的高：Rsinα
矩形的长：Rcosα-(Rsinα)tan30°
所以矩形面积S=(Rsinα)[Rcosα-(Rsinα)tan30°]
=sinα(cosα-3^1/2sinα)
=2sinα(cos60°cosα-sin60°sinα)
=2sinα*cos(60°+α)
对S求导：S'=2cos(2α+60°)=0 ∴α=15°
S的最大值：S=2sin15°cos(60°+15°)=(2-3^1/2)/2
以O为原点，OM为x轴，过O点的OM的垂线为y轴建立直角坐标系，有
A（cosα，sinα），B（cosα，sinα），
OP直线为y=√3 x，OQ直线为y= -√3 x，AD直线为y=sinα，BC直线为y= -sinα，
故可得D（sinα／√3，sinα），C（sinα／√3，sinα），
1，故AB=2sinα，BC=cosα-sinα／√3
2，...
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以O为原点，OM为x轴，过O点的OM的垂线为y轴建立直角坐标系，有
A（cosα，sinα），B（cosα，sinα），
OP直线为y=√3 x，OQ直线为y= -√3 x，AD直线为y=sinα，BC直线为y= -sinα，
故可得D（sinα／√3，sinα），C（sinα／√3，sinα），
1，故AB=2sinα，BC=cosα-sinα／√3
2，故矩形ABCD面积为
S=2sinα（cosα-sinα／√3）
=2sinαcosα-2sin²α／√3
=sin2α-2[(1-cos2α)/2]／√3
=sin2α+cos2α／√3 -1／√3，（0＜α＜π／3）
3，令y=sin2α，x=cos2α，，（0＜α＜π／3）
有x²+y²=1，
可见x、y是圆在0°-120°上的点的集合（圆弧），
则求S变为S=y+x／√3 -1／√3，也即y= -x／√3+（1／√3+S），
这就变成了求斜率为-1／√3的直线与圆弧相交得截距最大值。
解得当x=√3／2，y=1／2时，Smax=1-1／√3。
可得此时α=30°。
收起
连接PQ 在从0做PQ的垂线的交点，这是阿尔法为30度是最大。
楼上两位答案不一致。