如图,在△ABC中,AD⊥BC,AB+BD=AC+CD.问△ABC是什么三角形?请证明,

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/11/05 02:29:34

如图,在△ABC中,AD⊥BC,AB+BD=AC+CD.问△ABC是什么三角形?请证明,
如图,在△ABC中,AD⊥BC,AB+BD=AC+CD.问△ABC是什么三角形?
请证明,

如图,在△ABC中,AD⊥BC,AB+BD=AC+CD.问△ABC是什么三角形?请证明,
有题意,有
AB^2-BD^2=AC^2-CD^2
有(AB+BD)(AB-BD)=(AC+CD)(AC-CD)
而AB+BD=AC+CD,
有AB-BD=AC-CD
将上面两个式子相加有
AB=AC,
既是等腰三角形.

等腰三角形。
假设它不是等腰三角形,不妨设AB<AC
则由勾股定理易知BD<CD
延长DB到E,使DE=DC,连结AE
∵DE=DC,AD⊥CE
∴AE=AC(中垂线定理)
∴AE+DE=AC+CD
∴AE+DE=AB+BD
得到△ABE中,AE+BE=AB
矛盾!

等腰或等边