设O为三角形ABC外心,平面上一点P使向量OP=向OA+向OB+向OC 则点P是三角形ABC的垂心,为什么?详细步骤!

来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/08 01:39:54

设O为三角形ABC外心,平面上一点P使向量OP=向OA+向OB+向OC 则点P是三角形ABC的垂心,为什么?详细步骤!
设O为三角形ABC外心,平面上一点P使向量OP=向OA+向OB+向OC 则点P是三角形ABC的垂心,为什么?详细步骤!

设O为三角形ABC外心,平面上一点P使向量OP=向OA+向OB+向OC 则点P是三角形ABC的垂心,为什么?详细步骤!
【【注】】
【1】
以下大写字母均表示向量,前面不再写“向量”二字.
如“向量AB”就写为AB.
【2】
三角形高线的性质：
任意一个三角形,其三条高线交于一点.
该点就称为三角形的垂心.
【3】
三角形的外心：
易知,若点O是⊿ABC的外心,
则|OA|=|OB|=|OC|.
【【证明】】
【1】
由“向量加法的三角形法则”可知：
AP=AO+OP.
由题设可知：OP=OA+OA+OC.
又OA+AO=0.
∴AP=AO+OP
=AO+OA+OB+OC
=OB+OC.
即：AP=OB+OC
【2】
由“向量加法的三角形法则”可知：
OB+BC=OC.
∴BC=OC-OB.
【3】
由上面的结论可知：
AP•BC
=(OB+OC) •(OC-OB)
=OB•OC-OB²+OC²-OC•OB
=OC²-OB².
=|OC|²-|OB|²
=0.
∴AP•BC=0
∴向量AP⊥向量BC.
∴在平面几何中,直线AP⊥边BC.
∴AP是该三角形的高线.
【4】
同理可证,BP,和CP均为高线,
∴点P是该三角形的垂心.

你每次分别移一个向量过去就会发现

证明：AP·BC =(OP-OA)·(OC-OB) =(OC+OB)·(OC-OB) =OC^2-OB^2 　　=|OC|^2-|OB|^2 　　=0 　　故AP⊥BC 　　同理可得BP⊥AC，从而P是垂心

设O为三角形ABC外心,平面上一点P使向量OP=向OA+向OB+向OC 则点P是三角形ABC的什么重心还是垂心还是其他 设O为三角形ABC外心,平面上一点P使向量OP=向OA+向OB+向OC 则点P是三角形ABC的垂心,为什么?详细步骤! 在三棱锥P-ABC中,PA=PB=PC,试证：点P在平面ABC上的正投影O为三角形ABC的外心 一点P不在三角形ABC所在的平面内,O是三角形ABC的外心,若PA=PB=PC.求证：PO垂直平面ABC O是三角形ABC的外心,P是三角形ABC所在平面外一点且PA=PB=PC.求证PO垂直于平面ABC 过三角形ABC平面外一点P,作PO垂直面ABC于O,若PA=PB=PC求,O是三角形ABC的外心 过三角形ABC所在平面a外一点P,做PO垂直a,垂足为O,连接PA,PB,PC,若PA=PB=PC,则点O是三角形ABC的外心,怎样证明? 设AB是圆O的的直径.C是圆周上的任意一点,PA垂直平面ABC(P为圆O所在平面外一点）求证：平面PAC垂直平面PB设AB是圆O的的直径.C是圆周上的任意一点,PA垂直平面ABC,(P为圆O所在平面外一点）求证： O是三角形ABC的外心,P是三角形ABC所在平面外一点,且PA＝PB＝PC,求证：PO垂直于面ABCO是三角形ABC的外心,P是三角形ABC所在平面外一点,且PA＝PB＝PC,求证：PO垂直于面ABC证明：如图.连AO,BO,CO.∵O是三 如何证明设三角形ABC的外心为O,垂心为H,从O向BC边引垂线,设垂足为L,则AH=2OL 已知P为三角形ABC所在平面外一点,O为P在平面ABC上的射影,若PA垂直BC,PB垂直AC,则O是三角形ABC的 点P是三角形ABC所在平面外一点,PA、PB、PC两两垂直,且PO垂直于平面ABC于点O,则点O是三角形的：A外心 B内心 C垂心 D重心 高一数学题在△ABC中,O为外心,P是平面内一点,且满足向量OA+OB+OC=OP则P是什么心? 在△ABC中,O为外心,P是平面内一点,且满足向量OA+OB+OC=OP则P是什么心? 若P为三角形ABC所在平面外一点,且PA=PB=PC,求证点P在三角形ABC所在平面内的射影是三角形ABC的外心. 三角形ABC,AB〉AC,AD为BC边上的高,O为AD上一点,是三角形ABC的外圆圆心（外心）,O1为三角形BDM的内心,O2为三角形CDN的内心,证明M、N、O1、O2四点共圆的充要条件是：0为三角形ABC的内心.M和N为O向AC 已知:在三棱锥P-ABC中,PA=PB=PC,自P向平面ABC作垂线,O为垂足.求证:O为△ABC的外心快 设p是等边三角形ABC所在平面上一点,使三角形ABP,三角形BCP,三角形ACP都是等腰三角形,满足条件的P点有几个?