在Rt三角形ABC中,角BCA=90度,CD是高,已知Rt三角形ABC的三边都是整数,且BD=11那么Rt三角形BCD与Rt三角形ACD的周长之比是多少?结果是11比60.很抱歉,找不到图,有没能力强点的补上图,应该是用到三角形

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/11/05 11:30:23

在Rt三角形ABC中,角BCA=90度,CD是高,已知Rt三角形ABC的三边都是整数,且BD=11那么Rt三角形BCD与Rt三角形ACD的周长之比是多少?结果是11比60.很抱歉,找不到图,有没能力强点的补上图,应该是用到三角形
在Rt三角形ABC中,角BCA=90度,CD是高,已知Rt三角形ABC的三边都是整数,且BD=11
那么Rt三角形BCD与Rt三角形ACD的周长之比是多少?结果是11比60.
很抱歉,找不到图,有没能力强点的补上图,应该是用到三角形相似来证明的.

在Rt三角形ABC中,角BCA=90度,CD是高,已知Rt三角形ABC的三边都是整数,且BD=11那么Rt三角形BCD与Rt三角形ACD的周长之比是多少?结果是11比60.很抱歉,找不到图,有没能力强点的补上图,应该是用到三角形
BC^2=BD×AB=11^3×AB
设AB=11×m^2
则AD=11×(m^2—11^2) AC^2=AD×AB=11^2×m^2×(m^2—11^2)
必有m^2—11^2=n^2
即(m+n)(m—n)=121
m+n=11,m—n=11或m+n=121,m—n=1,
二者必居其一都得11的情况舍掉,
解第二个方程组,
m=61,n=60 顺着代回去,
注意过程别计算,
留着最后约分,
很好算,
结果是11/60

全部展开

问题：如图所示，在Rt△ABC中，∠BCA=90°，CD是高，已知Rt△ABC的三边长都是整数且BD=11^3，求Rt△ABC与Rt△ACD的周长之比。
由题意可知：Rt△BCD ∽Rt△CDA　∴BD/CD=CD/AD=BC/AC, 则CD^2=BD×AD ，
已知BD=11^3=11×11^2, 现需求出AD之值，才能求出CD之值。
设 AB=11×m^2，则AD＝AB－BD=11×m^2-11×11^2=11×(m^2-11^2) ，
设 m^2-11^2＝n^2 移项，得：m^2-n^2=11^2 则(m+n)(m-n)=121
以上方程有两组其一为：（m+n）=11 (m-n)=11 该组解不存在，舍去。
其二为： m+n=121,,m-n=1
所以可得：m=61 n=60
则 AD=11×n^2=11×60^2
所以 CD^2=BD×AD=11×11^2×11^60^2=11^4×60^2
CD=60×11^2
此时，可得 BD/CD=11×11^2/60×11^2=11/60
根据相似三角形的周长比等于相似比，
最后得到：Rt△ABC与Rt△ACD的周长之比11：60
[说明] 已有网友作过回答，很好，谢谢。本人参考了您的解答，只不过作得更详细一些，以供需求者参考。因时间仓促，水平有限，不妥之处，请更正。

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