设f′(0)=2,则lim x→0 [f(x)-f(-x)]/ln(1+x)等于多少?

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/11/06 16:48:32

设f′(0)=2,则lim x→0 [f(x)-f(-x)]/ln(1+x)等于多少?
设f′(0)=2,则lim x→0 [f(x)-f(-x)]/ln(1+x)等于多少?

设f′(0)=2,则lim x→0 [f(x)-f(-x)]/ln(1+x)等于多少?
lim x→0 [f(x)-f(-x)]/ln(1+x)
=lim x→0 [f(x)-f(-x)]/x
=lim x→0 [f(x)-f(0)+f(0)-f(-x)]/x
=lim x→0 [f(x)-f(0)]/x+lim x→0 [f(0)-f(-x)]/x
=f'(0)+f'(0)
=2×2
=4

lim x→0 [f(x)-f(-x)]/ln(1+x)
上下求导 (罗比达法则)
[f'(x)+f'(x)]/[1/(x+1)]
=2(x+1)f'(x)
带入 x=0得
=2*2
=4

答案是4,ln(1+X)在x趋向于0时,等同于x
原式则为lim x→0 [f(x)-f(-x)]/x即2f′(0)=4

根据等价无穷小代换
原式=lim(x->0) [f(x)-f(0)-f(-x)+f(0)]/x
=lim(x->0) [f(x)-f(0)]/x + lim(x->0) [f(-x)-f(0)]/(-x)
=f'(0)+f'(0)
=2+2
=4