求微分方程y'=x/y+y/x的通解

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/11/05 11:31:39

求微分方程y'=x/y+y/x的通解
求微分方程y'=x/y+y/x的通解

求微分方程y'=x/y+y/x的通解
y/x=t
y=tx
y'=t+x*dt/dx=t+1/t
x*dt/dx=1/t
tdt=dx/x
然后再算

设u =y/x
y'=x/y+y/x = 1/u + u = g(u)
du/[(g(u) - u] = dx/x udu = dx/x
两边求不定积分
u^2/2 = lnx +C1
y^2 = x^2* (2lnx+2C1)=x^2* (2lnx+C)

令u=y/x,则y=ux,dy/dx=u+xdu/dx
所以原式可写为u+xdu/dx=1/u+u
即dx/x=udu
所以1/2u^2=lnx+C(C为常数）
即1/2(y/x)^2=lnx+C

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