作业帮请问一道关于证明可导偶函数的导函数是奇函数的问题证明：设f(x)为可导的偶函数,即f(x)=f(-x)；同时g(x)为f(x)的导函数.对于任意的自变量位置x,有 g(x)=lim(dx→0){[f(x+dx) - f(x)]/dx}g( -x)=lim(dx→0){[f
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/08 10:58:35
请问一道关于证明可导偶函数的导函数是奇函数的问题证明：设f(x)为可导的偶函数,即f(x)=f(-x)；同时g(x)为f(x)的导函数.对于任意的自变量位置x,有 g(x)=lim(dx→0){[f(x+dx) - f(x)]/dx}g( -x)=lim(dx→0){[f
请问一道关于证明可导偶函数的导函数是奇函数的问题
证明：设f(x)为可导的偶函数,即f(x)=f(-x)；同时g(x)为f(x)的导函数.
对于任意的自变量位置x,有 g(x)=lim(dx→0){[f(x+dx) - f(x)]/dx}
g( -x)=lim(dx→0){[f( -x+dx) - f(-x)]/dx}= lim(dx→0){[f(x-dx) - f(x)]/dx}
所以,lim(dx→0){[f(x+dx) - f(x)]/dx}= - lim(dx→0){[f(x-dx) - f(x)]/dx}
即 g(x)= -g(-x) 故命题成立
请问各位,这里为什么说lim(dx→0){[f(x+dx) - f(x)]/dx}= - lim(dx→0){[f(x-dx) - f(x)]/dx} 呢?
还有,我刚刚导出了 lim(dx→0){[f(x+dx) - f(x-dx)]/dx} 但它的结果为0吗?谢谢
请问一道关于证明可导偶函数的导函数是奇函数的问题证明：设f(x)为可导的偶函数,即f(x)=f(-x)；同时g(x)为f(x)的导函数.对于任意的自变量位置x,有 g(x)=lim(dx→0){[f(x+dx) - f(x)]/dx}g( -x)=lim(dx→0){[f
可以给你一个更简单的证明,你看是否对?
∵f(x)是可导的偶函数 ∴ f(-x)=f(x)
两断求导得：-f'(-x)=f'(x) 即f'(-x)=-f'(x)
∴f'(x)是奇函数.
令 dt=-dx,则有：
lim(dx→0){[f(x+dx) - f(x)]/dx}= lim(dt→0){[f(x-dt) - f(x)]/(-dt}= - lim(dt→0){[f(x-dt) - f(x)]/dt}
----------- 负号来自分母。
lim(dx→0){[f(x+dx) - f(x-dx)]/dx}= 2f'(x) 一般不是零。