作业帮设A为你阶方阵,a1,a2为A的分别属于特征值-1,1的特征向量,向量a3满足Aa3=a2+a3,证明：a1,a2,a3线性无关请不要复制，希望有人看到！
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/08 03:05:57
设A为你阶方阵,a1,a2为A的分别属于特征值-1,1的特征向量,向量a3满足Aa3=a2+a3,证明：a1,a2,a3线性无关请不要复制，希望有人看到！
设A为你阶方阵,a1,a2为A的分别属于特征值-1,1的特征向量,向量a3满足Aa3=a2+a3,证明：a1,a2,a3线性无关
请不要复制，希望有人看到！
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lxkzhi 的思路是对的,但后面有点问题,表达也不够严谨,我补充完整了,如下
反证法：
前面同 lxkzhi
假设a1,a2,a3线性相关,则存在不同时为零的三个数k1,k2,k3使得：
k1a1+k2a2+k3a3=0
有条件可知：
(A+E)a1=0
(A-E)a2=0
(A-E)a3=a2
对k1a1+k2a2+k3a3=0 (1)
同时左乘以A-E得
k1(A-E)a1+k2(A-E)a2+k3(A-E)a3=0
k1(A-E)a1+k3a2=0
再同时左乘以A-E,得
k1(A-E)(A-E)a1=0 (0为0向量)
（从下面起是我的补充）
因为(A-E)a1都不为零,且(A-E)a1不等于a2 (这里容易证明,可自己推一下,不明白再问我）
所以k1=0
所以由(1)式得k2a2+k3a3=0 (2)
两边同时左乘(A-E)得
k2(A-E)a2+k3(A-E)a3=0
因为 (A-E)a2 = 0
所以 k3(A-E)a3=0
又 (A-E)a3 不为0
所以k3 = 0
所以由(2)式得 k2 = 0
综上得 k1,k2,k3都为0,与假设矛盾,故假设不成立,即a1,a2,a3线性无关
反证法：
假设a1,a2,a3不是线性无关，则存在不同时为零的三个数k1,k2,k3使得：
k1a1+k2a2+k3a3=0
有条件可知：
(A+E)a1=0
(A-E)a2=0
(A-E)a3=a2
对k1a1+k2a2+k3a3=0同时左乘以A-E得
k1(A-E)a1+k2(A-E)a2+k3(A-E)a3=0
k1(A...
全部展开
反证法：
假设a1,a2,a3不是线性无关，则存在不同时为零的三个数k1,k2,k3使得：
k1a1+k2a2+k3a3=0
有条件可知：
(A+E)a1=0
(A-E)a2=0
(A-E)a3=a2
对k1a1+k2a2+k3a3=0同时左乘以A-E得
k1(A-E)a1+k2(A-E)a2+k3(A-E)a3=0
k1(A-E)a1+k3a2=0
再同时左乘以A-E，得
k1(A-E)(A-E)a1=0 (0为0向量)
因为A-E和a1都不为零，所以k1=0。
所以k2a2+k3a3=0，即a3=ka2
代入Aa3=a2+a3，得
kAa2=a2+ka2
又Aa2=a2，代入上式得
ka2=a2+ka2
即a2=0，这与特征向量非零矛盾，所以a3=ka2不成立，即若使k2a2+k3a3=0需要k2=0,k3=0
所以不存在三个非零的常数k1,k2,k3使得k1a1+k2a2+k3a3=0成立。即a1,a2,a3线性无关
证法比较麻烦，你还是等等其他答案吧。自己感觉做的不好
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