2009全国初中数学竞赛决赛试题答案

2009全国初中数学竞赛决赛试题答案
2009全国初中数学竞赛决赛试题答案

2009全国初中数学竞赛决赛试题答案
一、选择题（共5小题,每小题7分,满分35分）以下每道小题均给出代号为A、B、C、D的四个选项,其中有且只有一个选项是正确的,请将正确选项的代号填入题后的括号里,不填,多填或错填都的0分）1、已知非零实数a、b满足|2a-4|+|b+2|+(a-3)b2 +4=2a,则a+b等于（ ）A、-1 B、0 C、1 D、2解 有题设知a≥3,题设等式化为|b+2|+(a-3)b2 =0,于是a=3,b=-2,从而a+b=1,选C
答案补充
2、如图所示,菱形ABCD边长为a,点O在对角线AC上一点,且OA=a,OB=OC=OD=1,则a等于（ ）A、5+12 B、5-12 C、1 ∵△BOC∽△ABC,∴B0AB =BCAC 即1a =aa+1 ∴a2-a-1=0由于a＞0,解得a=5+12 ,选A
答案补充
3、将一枚六个面编号分别为1,2,3,4,5,6的质地均匀的正方形骰子先后投掷两次,记第一次掷出的点数为a,第二次掷出的点数为b,则关于x、y的方程组 只有正数解的概率为（ ）A、112 B、29 C、518 D、1336 解 当2a-b=0时,方程组无解当2a-b≠0时,方程组的解为由a、b的实际意义为1,2,3,4,5,6可得又掷两次骰子出现的基本事件共6×6=36种情况,故所求概率为1336 选D
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4、如图1所示,在直角梯形ABCD中,AB‖CD,∠B=90°,动点P从点B出发,沿梯形的边由B→C→D→A运动,设点P运动的路程为x,△ABP的面积为y,把y看作x的函数,函数图象如图2所示,则△ABC的面积为（ ）A、10 B、16 C、18 D、32解 根据图象可得BC=4,CD=5,DA=5,进而求的AB=8,故S△ABC=12 ×8×4=16 选B
答案补充
5、关于x、y的方程x2+xy+y2=29的整数解（x、y）的组数为（ ）A、2组 B、3组 C、4组 D、无穷多组解 可将原方程视为关于x的二次方程,将其变形为x2+yx+（2y2-29）=0由于该方程有整数根,根据判别式△≥0,且是完全平方数由△=y2-4(2y2-29)= -7y2+116≥0解得y2≤1167 ≈16.57y2 0 1 4 9 16△ 116 109 88 53 4显然只有y2=16时,△=4是完全平方数,符合要求当y=4时,原方程为x2+4x+3=0,此时x1=-1,x2=-3当y=-4时,原方程为x2-4x+3=0,此时x3=1,x4=3所以,原方程的整数解为 选C
答案补充
6、一自行车轮胎,若把它安装在前轮,则自行车行驶5000km后报废；若把它安装在后轮,则自行车行驶3000km后报废,行驶一定路程后可以交换前、后轮胎.如果交换前、后轮胎,要使一辆自行车的一对新轮胎同时报废,那么这辆自行车将能行驶 ；解 设每个轮胎报废时总磨损量为k,则安装在前轮的轮胎每行驶1km磨损量为k5000 ,安装在后轮的轮胎每行驶1km的磨损量为k3000 ,又设一对新轮胎交换位置前走了xkm,交换位置后走了ykm,分别以一个轮胎的总磨损量为等量关系列方程,有 则x+y=3750 ∴填3750
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7、已知线段AB的中点为C,以点C为圆心,AB长为半径作圆,在线段AB的延长线上取点D,使得BD=AC；再以点D为圆心,DA的长位半径作圆,与⊙A分别相交于点F、G两点,连接FG交AB于点H,则AHAB 的值为 ；解 如图,延长AD与⊙D相交于点E,连接AF,EF.由题设知AC=13 AD,AB=13 AE,在△FHA和△EFA中,∠EFA=∠FHA=90°,∠FAH=∠EAF∴Rt△FHA∽Rt△EFA,AHAF =AFAE ,而AF=AB,∴AHAB =13 ,填13
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8、已知a1,a2、a3、a4、a5满足条件a1+a2+a3+a4+a5=9的五个不同的整数,若b是关于x的方程（x-a1）（x-a2）（x-a3）（x-a4）（x-a5）=2009的整数根,则b的值为 ；解 ∵（b-a1）（b-a2）（b-a3）（b-a4）（b-a5）=2009,且a1,a2、a3、a4、a5是五个不同的整数,∴（b-a1）,（b-a2）,（b-a3）,（b-a4）,（b-a5）,也是五个不同的整数,又∵2009=1×（-1）×7×（-7）×41,∴（b-a1）+（b-a2）+（b-a3）+（b-a4）+（b-a5）=41,又∵a1+a2+a3+a4+a5=9∴可得b=10 填10
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9、如图所示,在△ABC中,CD是高,CE为∠ACB的平分线,若AC=14,BC=20,CD=12,则CE的长等于 解 如图,有勾股定理知AD=9,BD=16,所以AB=AD+BD=25故由勾股定理知△ABC为直角三角形,且∠ACB=90°作EF⊥BC,垂足为F,设EF=x,由∠ECF=12 ∠ACB=45°,得CF=x,于是BF=20-x,由于EF‖AC,所以EFAC =BFBC ,即x15 =20-x20 ,解得x=607 ∴CE=2 x=607 2 填607 2
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10、10个人围成一个圆圈做游戏,游戏的规则是：每个人心里都想好一个数,并把自己想好的数如实告诉两旁的两个人,然后每个人将他两旁的两个人告诉他的数的平均数报出来,若抱出来的数如图所示,则报3的人心里想的数是 ；解 设报3的人心里想的数是x,则报5的人心里想的数应该是8-x,于是报7的人心里想的数是12-（8-x）=4+x,报9的人心里想的数是16-（4+x）=12-x,报1的人心里想的数是20-（12-x）=8+x,报3的人心里想的数是4-（8+x）=-4-x∴x=-4-x,解得x=-2填-2
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13、如图,给定锐角△ABC,BC＜CA,AD,BE是它的两条高,过点C作△ABC的外接圆的切线l,过电D、E分别作l的垂线,垂足分别为F、G,试比较线段DF和EG的大小,并证明你的结论?解法1 结论是DF=EG,下面给出的证明.∵∠FCD=∠EAB,∴Rt△FCD∽Rt△EAB,于是可得……5分DF=BE•CDAB 同理可得EG=AD•CEAB ……10分又∵tan∠ACB=ADCD =BECE ,∴BE•CD=AD•CE,于是可得DF=EG ……20分解法2 结论是DF=EG,下面给出证明……5分 连接DE,∵∠ADB=∠AEB=90°,∴A、B、D、E四点共圆,故∠CED=∠ABC……10分又l是⊙O的过点C的切线,∴∠ACG=∠ABC……15分∴∠CED=∠ACG,于是DE‖FG,故DF=EG……20分