作业帮在数列{an}中,a1=1,a(n+1)=2an+2^n.1、设bn=an/[2^(n-1)],证明数列{bn}是等差数列；2、求数列{an}的前n项和Sn.
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/08 01:39:35
在数列{an}中,a1=1,a(n+1)=2an+2^n.1、设bn=an/[2^(n-1)],证明数列{bn}是等差数列；2、求数列{an}的前n项和Sn.
在数列{an}中,a1=1,a(n+1)=2an+2^n.
1、设bn=an/[2^(n-1)],证明数列{bn}是等差数列；
2、求数列{an}的前n项和Sn.
在数列{an}中,a1=1,a(n+1)=2an+2^n.1、设bn=an/[2^(n-1)],证明数列{bn}是等差数列；2、求数列{an}的前n项和Sn.
（1）证明：因为a(n+1)=2an+2^n
所以a(n+1)/2^n=2an/2^n+1
即a(n+1)/2^n=an/2^（n-1）+1
因为bn=an/2^(n-1）
所以b(n+1)=bn+1
即b(n+1)-bn=1,b1=1
故数列｛bn｝是首项为1,公差为1的等差数列
（2）由（1）得bn=1+（n-1）*1=n
又因bn=an/2^(n-1）
所以an=n*2^(n-1）,则
Sn=1*2^0+2*2^1+3*2^2+4*2^3+……+（n-1）*2^(n-2）+n*2^(n-1）……（1）
2Sn=1*2^1+2*2^2+3*2^3+4*2^4+……+（n-1）*2^(n-1）+n*2^n……（2）
（2）-（1）得
Sn=n*2^n-[2^0+2^1+2^2+2^3+……+2^(n-2）+2^(n-1）]
=n*2^n-[（1-2^n）/（1-2）]
=n*2^n-2^n+1
=1+（n-1）2^n
等式2边同除以2^n得
a(n+1)/2^n=2an/[2*2^(n-1)]+1
化简得 a(n+1)/2^n=an/2^(n-1)+1
令
bn=an/[2^(n-1)] 所以b(n+1)=bn+1
所以数列{bn}是等差数列
第二问就不用说了吧~