已知函数f(x)=ln(x+1)-ax^2-x求f(x)单调区间
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/11/05 11:39:19
已知函数f(x)=ln(x+1)-ax^2-x求f(x)单调区间
已知函数f(x)=ln(x+1)-ax^2-x
求f(x)单调区间
已知函数f(x)=ln(x+1)-ax^2-x求f(x)单调区间
∵原函数f(x)=ln(x+1)-ax²-x
∴原函数f(x)的定义域为x>-1
且导函数g(x)=1/(x+1)-2ax-1
=[1-2ax(x+1)-(x+1)]/(x+1)
=[﹣2ax²-﹙2a-1﹚x]/(x+1)
①当a=0时g(x)=x/(x+1)
∴x (﹣1,0) 0 (0,﹢∞)
g(x) - 0 +
f(x) ↓ ↑
∴当a=0时,原函数f(x)在(﹣1,0) 单调递减 (0,﹢∞)单调递增.
②当a≠0时g(x)=[﹣2ax²-﹙2a-1﹚x]/(x+1)
∵(x+1)>0
∴原函数f(x)的单调性由h(x)=﹣2ax²-﹙2a-1﹚x 决定﹙x>﹣1﹚
Δ=[-﹙2a-1﹚]²-4×﹙﹣2a)×0=(2a-1)²≥0
∴x1=0,x2=-﹙2a-1﹚/2a=-1+1/2a
③当a=½时x1=x2
所以h(x)在x>﹣1内恒小于零,
∴当a=½时,原函数f(x)为单调递减.
④当a<0时,x2<﹣1
∴x (﹣1,0) 0 (0,﹢∞)
h(x) - 0 +
f(x) ↓ ↑
∴当a<0时,原函数f(x)在(﹣1,0) 单调递减 (0,﹢∞)单调递增.
⑤当0<a<½时,x2>0
∴x (﹣1,0) 0 (0,x2) x2 (x2,﹢∞)
h(x) - 0 + 0 -
f(x) ↓ ↑ ↓
当a0<a<½0时,原函数f(x)在(﹣1,0) 单调递减 (0,x2)单调递增(x2,﹢∞)单调递减
⑥ 当a>½时x1>x2
∴x (﹣1,x2) x2 (x2,0) 0 (0,﹢∞)
h(x) - 0 + 0 -
f(x) ↓ ↑ ↓
当a>½时原函数f(x)在(﹣1,x2) 单调递减 (x2,0)单调递增(0,﹢∞)单调递减
∴综上所述:当a≤0时,原函数f(x)在(﹣1,0) 单调递减 (0,﹢∞)单调递增.
当a=½时,原函数f(x)为单调递减.
当a0<a<½0时,原函数f(x)在(﹣1,0) 单调递减 (0,x2)单调递增(x2,﹢∞)单调递减
当a>½时原函数f(x)在(﹣1,x2) 单调递减 (x2,0)单调递增(0,﹢∞)单调递减