抛物线Y平方=8X的动弦AB的长为16,求弦AB的中点M到Y轴的最短距离

来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/05 17:28:15

抛物线Y平方=8X的动弦AB的长为16,求弦AB的中点M到Y轴的最短距离
抛物线Y平方=8X的动弦AB的长为16,求弦AB的中点M到Y轴的最短距离

抛物线Y平方=8X的动弦AB的长为16,求弦AB的中点M到Y轴的最短距离
设直线AB的方程为：x=ky+b
和抛物线方程联立：y²=8(ky+b)
y²-8ky-8b=0
y1+y2=8k
y1·y2=-8b
则(y1-y2)²=(y1+y2)²-4y1y2=64k²+32b
∴(x1-x2)²=[(ky1+b)-(ky2+b)]²=(ky1-ky2)²=k²(y1-y2)²
弦AB的长为：
√[(x1-x2)²+(y1-y2)²]
=√[(k²+1)(y1-y2)²]
=√[(k²+1)(64k²+32b)]
=4√[(k²+1)(4k²+2b)]
=16
√[(k²+1)(4k²+2b)]=4
(k²+1)(4k²+2b)=16
2k²(k²+1)+b(k²+1)=8
b(k²+1)=8-2k²(k²+1)
b=[8-2k²(k²+1)]/(k²+1)=8/(k²+1)-2k²
而(x1+x2)/2=(ky1+b+ky2+b)/2=k(y1+y2)/2+b=4k²+b
∴点M的横坐标为：4k²+b
即M到y轴的距离为：4k²+b
而4k²+b
=4k²+8/(k²+1)-2k²
=2k²+8/(k²+1)
=2(k²+1)+8/(k²+1)-2
≥2√[2(k²+1)×8/(k²+1)]-2
=2√16-2
=2×4-2
=6
当且仅当2(k²+1)=8/(k²+1),k²=1时等号成立
∴当k²=1时,弦AB的中点M到y轴的距离最短,是6

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