在任意四边形ABCD中,求证：AB*CD+AD*BC>=AC*BD,并指出取等号条件.以任意△ABC三边AB,BC,CA分别向外作正

来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/07 18:06:43

在任意四边形ABCD中,求证：AB*CD+AD*BC>=AC*BD,并指出取等号条件.以任意△ABC三边AB,BC,CA分别向外作正
在任意四边形ABCD中,求证：AB*CD+AD*BC>=AC*BD,并指出取等号条件.以任意△ABC三边AB,BC,CA分别向外作正

在任意四边形ABCD中,求证：AB*CD+AD*BC>=AC*BD,并指出取等号条件.以任意△ABC三边AB,BC,CA分别向外作正
这道题就是托勒密定理及其推广的证明.
托勒密定理：圆内接四边形ABCD,求证:AB*CD+AD*BC=AC*BD.
证明：
先画一个圆,内接四边形ABCD
连接AC,BD
在BD 上找一点M
作∠BAM=∠CAD
因为 ∠ABD=∠ACD
所以 三角形ABM 相似于 三角形ACD
AB/BM=AC/CD 变形
AB*CD=AC*BM
而且 ∠MAD=∠BAC 又因为 ∠ADM=∠ACB
所以 三角形ADM 相似于 三角形ACB
AD/DM=AC/CB 变形
AD*BC=AC*DM
所以 AD*BC+AB*CD=(DM+BM)*AC=AC*BD.
定理的推广:凸四边形ABCD中,有AB*CD+AD*BC>=AC*BD,仅当四边形内接于圆时等号成立.
证明：
作角ABM=角ACD,角BAM=角CAD,由△ABM相似于△ACD,AB*CD=AC*BM,AB/AM=AC/AD,又角CAB=角DAM,故△ABC相似于△AMD,得
AD*BC=AC*MD,两式相加得AB*CD+AD*BC=AC*(BM+MD)>=AC*BD,仅当M在BD上时等号成立,这时角ABD=角ACD,即四边形是圆内接四边形.

以任一条边建立坐标系，设出各点坐标，求出向量，利用作差法比较。很简单的。

在任意四边形ABCD中,求证：AB*CD+AD*BC>=AC*BD,并指出取等号条件. 在四边形ABCD中,AB=CD,BC平行于AD,求证：四边形ABCD是平行四边形 在四边形ABCD中,AB=BC=CD=AD,求证:四边形ABCD是菱形 在四边形ABCD中,AB平行CD,且AB+BC=CD+DA,求证四边形ABCD是平行四边形. 四边形ABCD中,AB‖CD,AB+AD=CB+CD,求证:四边形ABCD为平行四边形 在四边形ABCD中,AB=CD,BE=DF,AF⊥AB,CE⊥CD,求证AB∥CD 如图,在四边形ABCD中,三角形AB C全等三角形BAD 求证：AB平行CD 如图,在四边形ABCD中,AB//CD,AC是BD的垂直平分线,求证：四边形ABCD是菱形 已知,在四边形ABCD中,AB=CD,AC=BD,AD≠BC,求证：四边形ABCD为等腰梯形 如图,在四边形ABCD中,AB‖CD,AC是BD的垂直平分线,求证：四边形ABCD是菱形 如图,在四边形ABCD中,AD=BC,AB=CD,求证,四边形ABCD是平行四边形 如图,在四边形abcd中,ab=cd,cb=cd,ab‖cd.求证:四边形abcd是菱形就是普通的菱形 在平面四边形ABCD中,三角形ABC相似于三角形BAD,求证AB平行CD 在四边形中ABCD,LA＝LB,LC＝LD,求证AB平行于CD 在四边形ABCD中,AB=AD,CB=CD,求证:角ABC=角ADC 在四边形ABCD中,AB=AD,角ABC=角ADC求证CB=CD? 已知:在空间四边形ABCD中,AC=AD,BC=BD,求证:AB⊥CD 在四边形ABCD中,AB=AD,CB=CD,求证：角ABC=角ADC