已知三角形ABC为等边三角形,P为三角形ABC的外接圆上一点,当P在弧BC上时,求证：PA=PB+PC要有详细说明

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/11/05 20:38:34

已知三角形ABC为等边三角形,P为三角形ABC的外接圆上一点,当P在弧BC上时,求证：PA=PB+PC要有详细说明
已知三角形ABC为等边三角形,P为三角形ABC的外接圆上一点,当P在弧BC上时,求证：PA=PB+PC
要有详细说明

已知三角形ABC为等边三角形,P为三角形ABC的外接圆上一点,当P在弧BC上时,求证：PA=PB+PC要有详细说明
作BD平行于PC,则∠DBC=∠BCP,因为∠BPC=120度,所以∠PBC+∠PCB=60度,所以∠PBC+∠DBC=60度,因为∠ABC=60度,所以∠ABD=∠CBP,因为∠BCP=∠BAP,且AB=BC,所以△ADB≌△BPC,
因为BD=BP（全等）且∠DBP=60度,所以BD=DP,又因为PC=AD,所以AP=AD+DP=BP+PC!这可是目前最简便的解法了!

根据托密勒定理

根据余弦定理，PB^2+PC^2-2*PB*PC*COS(BPC)=BC^2
易证角BPC=120度，原式=PB^2+PC^2+PB*PC
设这个圆的圆心为O,则
BC^2=2R^2+R^2
所以PB^2+PC^2+PB*PC=2R^2+R^2
利用待定系数法易证PB*PC=R^2
所以(PB+PC)^2=4R^2
因为AP=2R
所以PB+PC=正负AP(负舍去）
PB+PC=PA

根据托密勒定理，得：PB*AC+AB*PC=PA*BC
因为AB=BC=CA
所以得PB+PC=PA
原式得证
注：托密勒定理是如果圆有内接四边形，则四边形对边乘积之和等于两对角线的乘积。