如图,梯形ABCD中,∠A=90°,EF是中位线,EG⊥BC,G为垂足,已知EF=1/2BC.求证:EG=1/2AD.
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/09/29 12:39:04
如图,梯形ABCD中,∠A=90°,EF是中位线,EG⊥BC,G为垂足,已知EF=1/2BC.求证:EG=1/2AD.
如图,梯形ABCD中,∠A=90°,EF是中位线,EG⊥BC,G为垂足,已知EF=1/2BC.
求证:EG=1/2AD.
如图,梯形ABCD中,∠A=90°,EF是中位线,EG⊥BC,G为垂足,已知EF=1/2BC.求证:EG=1/2AD.
延长CE交BA的延长线于H.
易证得:CD=AH.[△CDE≌△HAE]
∴BH=AB+CD,而EF=(AB+CD)/2=BC/2,∴BC=BH,
∴∠H=∠BCE.
显然,∠H=∠DCE,∴CE平分∠BCD,而由∠BAD=90°,得:ED⊥CD,又EG⊥BC,
∴EG=ED.[角平分线性质],自然,ED=AD/2,∴EG=AD/2.
过点C作CH⊥AB,垂足为H,由由于四边形ABCD为直角梯形,所以四边形AHCD为长方形,所以AD=GH
∵EF是中位线 ∴EF∥AB,得∠EFG=∠B
又因为三角形EFG和三角形 ∽ BCH为直角三角形
∵EFG∽ BCH
EG/CH=EF/BC
∵EF=1/2BC
∴EG=1/2CH
∴EG=1/2AD
连接BE EF=BF ∠EBF=∠FEB EF平行AB 所以∠EBA =∠FEB 所以∠FBE=∠EBA 所以三角形EBA全等于三角形GEB 所以GE=EA=1/2AD
过C点作CM⊥AB于M,由已知条件知 CM平行且等于AD并于AB垂直。
∵EF是中位线 ∴EF∥AB,∠EFG=∠B
则直角三角形EFG ∽ BCM
EG/CM=EF/BC
∵EF=1/2BC
∴EG=1/2CM
∴EG=1/2AD
用面积关系:连接CE,设:DC=2a,AB =2b,EG =x,DA =2h,则EF=a+b,BC=2﹙a+b﹚,∴CF =a+b,∴梯形面积=△DEC 的面积+△ECF的面积+梯形EABF的面积,∴2h﹙a+b﹚=½×2ah+½﹙a+b﹚x+½﹙a+b+2b﹚h,∴x=h,即CG=½AD