作业帮在三角形中,边a,b,c等差,tan(A/2),tan(B/2),tan(C/2)等比,求Cos^2(A-C)+Sin^2B的值.
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/08 23:33:22
在三角形中,边a,b,c等差,tan(A/2),tan(B/2),tan(C/2)等比,求Cos^2(A-C)+Sin^2B的值.
在三角形中,边a,b,c等差,tan(A/2),tan(B/2),tan(C/2)等比,求Cos^2(A-C)+Sin^2B的值.
在三角形中,边a,b,c等差,tan(A/2),tan(B/2),tan(C/2)等比,求Cos^2(A-C)+Sin^2B的值.
2b=a+c
所以
2sinB=sinA+sinC
4sin（B/2）cos（B/2）
=sin[(A+C)/2+(A-C)/2]+sin[(A+C)/2-(A-C)/2]
=2sin(A+C)/2cos(A-C)/2
=2cos(B/2)cos(A-C)/2
所以2sin（B/2）=cos（A-C）/2………………一式
tan²(B/2)= tan(A/2)*tan(C/2)
sin²（B/2）/cos²(B/2)=[sin（A/2）sin(C/2)]/[cos（A/2）cos(C/2)]
[(1-cosB)/2]/[（1+cosB）/2]=[sin（A/2）sin(C/2)]/[cos（A/2）cos(C/2)]
(1-cosB)/（1+cosB）=[sin（A/2）sin(C/2)]/[cos（A/2）cos(C/2)]
交叉相乘
(1-cosB)cos（A/2）cos(C/2)=（1+cosB）sin（A/2）sin(C/2)
cos（A/2）cos(C/2)-sin（A/2）sin(C/2)
=cosB（cos（A/2）cos(C/2)+sin（A/2））
cos[（A+C）/2]=cosBcos[(A-C)/2]
sin（B/2）=cosBcos[(A-C)/2]……………………二式
2sin（B/2）=cos（A-C）/2………………一式
对比一式二式,可以发现cosB=1/2,所以B=60°
所以cos（A-C）=1
所以A=C
所以△ABC是等边三角形
所以Cos^2(A-C)+Sin^2B=1+3/4=7/4