作业帮如图Rt△ABC中∠ACB=90°CA=3cm,CB=4cm,设点P、Q为AB、CB上动点它们分别从A、C同时出发向B点匀速移动,如图,Rt△ABC中,∠ACB=90°,CA=3cm,CB=4cm,设点P、Q为AB、CB上动点,它们分别从A、C同时出发向B点匀速移
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/09 02:39:03
如图Rt△ABC中∠ACB=90°CA=3cm,CB=4cm,设点P、Q为AB、CB上动点它们分别从A、C同时出发向B点匀速移动,如图,Rt△ABC中,∠ACB=90°,CA=3cm,CB=4cm,设点P、Q为AB、CB上动点,它们分别从A、C同时出发向B点匀速移
如图Rt△ABC中∠ACB=90°CA=3cm,CB=4cm,设点P、Q为AB、CB上动点它们分别从A、C同时出发向B点匀速移动,
如图,Rt△ABC中,∠ACB=90°,CA=3cm,CB=4cm,设点P、Q为AB、CB上动点,它们分别从A、C同时出发向B点匀速移动,移动速度为1cm/秒,设P、Q移动时间为t秒（0≤t≤w）．
①当∠CPQ=90°时,求t的值．
②是否存在t,使△CPQ成为正三角形?若存在,求出t的值；若不存在,能否改变Q的运动速度（P的速度不变）,使△CPQ成为正三角形?如何改变?并求出相应的t值． -
点
如图Rt△ABC中∠ACB=90°CA=3cm,CB=4cm,设点P、Q为AB、CB上动点它们分别从A、C同时出发向B点匀速移动,如图,Rt△ABC中,∠ACB=90°,CA=3cm,CB=4cm,设点P、Q为AB、CB上动点,它们分别从A、C同时出发向B点匀速移
分析：①过P作MP⊥AC与M,作PN⊥CB于N,易得AB=5cm,PM∥BC,利用△APM∽△ACB的相似比可表示出MP=
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t,AM=
3
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t,则CM=3-
3
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t,在Rt△PCM中利用勾股定理得到PC2=PM2 MC2=（
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t）2 （3-
3
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t）2=t2-
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t 9；又Rt△CPN∽Rt△CQP,得到CP2=CN•CQ=
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t•t,由此可得到关于t的一元二次方程,解方程即可得到t的值；
②假设存在t使△PCQ为正三角形,CN=
1
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CQ=
1
2
t,而CN=MP,得到
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t=
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2
t,解得t=0不合题意；设Q的速度为x,则CQ=xt,若△CPQ为正三角形,CN=
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CQ=
1
2
xt,而CN=MP=
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t,可得到x=
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,然后根据等边三角形的高为边长的
3
2
倍得到3-
3
5
t=
3
2
•
8
5
t,解方程求得满足条件的t的值．
①过P作MP⊥AC与M,作PN⊥CB于N,如图,AP=CQ=t,
∵∠ACB=90°,CA=3cm,CB=4cm,
∴AB=5cm,PM∥BC,
∴△APM∽△ACB,
∴MP：BC=AM：AC=AP：AB,
∴MP=
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t,AM=
3
5
t,
∴CM=3-
3
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t,
在Rt△PCM中,PC2=PM2 MC2=（
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t）2 （3-
3
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t）2=t2-
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5
t 9,
又CN=PM=
4
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t,
∵∠CPQ=90°,
∴Rt△CPN∽Rt△CQP,
∴CP：CQ=CN：CP,即CP2=CN•CQ,
∴t2-
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t 9=（
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t）•t,整理得：t2-18t 45=0,
∴t1=3（t2=15舍去）,
∴当∠CPQ=90°时,t的值为3；