用二项式定理证明（1）63^63+17能被16整除（2）3^4n+2 + 5^2n+1能被14整除

来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/08 14:48:46

用二项式定理证明（1）63^63+17能被16整除（2）3^4n+2 + 5^2n+1能被14整除
用二项式定理证明
（1）63^63+17能被16整除
（2）3^4n+2 + 5^2n+1能被14整除

用二项式定理证明（1）63^63+17能被16整除（2）3^4n+2 + 5^2n+1能被14整除
用二项式定理证明
（1）63^63+17能被16整除
63^63+17
=(16*4-1)^63+17
用二项式定理展开
=(16*4)^63+C(1,63)*(16*4)^62*(-1)^1+C(2,63)*(16*4)^61*(-1)^2+C(3,63)*(16*4)^61*(-1)^2+...+C(63,63)*(-1)^63+17
展开项中,除了最后一项,其余各项都能被16整除.
所以,上式同余于
C(63,63)*(-1)^63+17
=-1+16=16
所以：63^63+17能被16整除
（2）3^4n+2 + 5^2n+1能被14整除
3^(4n+2) + 5^(2n+1)
9^(2n+1)+5^(2n+1)
=(9+5)(9^2n-C(1,2n)9^(2n-1)*5+C(1,2n)9^(2n-2)*5²+...+5^2n)
因为9+5=14,所以上式能被14整除.

1).63^63+17=(64-1)^63+17=[64^63-f1*64^62+......+fn*64-1]+17=64m+16=16(4m+1),得证
2).3^(4n+2)+5^(2n+1)=9^(2n+1)+5^(2n+1)=(14-5)^(2n+1)+(14-9)^(2n+1)=(14m-5)+(14n-9)=14(m+n-1),得证。

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