已知不等式1/X+1/Y+m/(X+Y)≥0对任意正实数X,Y 恒成立,求实数m的最小值

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/11/06 03:33:41

已知不等式1/X+1/Y+m/(X+Y)≥0对任意正实数X,Y 恒成立,求实数m的最小值
已知不等式1/X+1/Y+m/(X+Y)≥0对任意正实数X,Y 恒成立,求实数m的最小值

已知不等式1/X+1/Y+m/(X+Y)≥0对任意正实数X,Y 恒成立,求实数m的最小值
∵对任意正实数X,Y ,不等式1/X+1/Y+m/(X+Y)≥0恒成立.即:对任意正实数X,Y ,m≥-(1/X+1/Y)×(X+Y)=﹣2﹣(X/Y + Y /X)恒成立.令F(X,Y)=﹣2﹣(X/Y + Y /X)(X>0,Y>0) 即:对任意正实数X,Y ,m ≥F(X,Y)max 恒成立.又X>0,Y>0 ∴X/Y + Y /X ≥ 2√(X/Y + Y /X)= 2 (当且仅当X=Y时,等号成立) ∴﹣(X/Y + Y /X)≤﹣2 F(X,Y)=﹣2﹣(X/Y + Y /X)≤﹣2﹣2 =﹣4 ∴F(X,Y)max = ﹣4 ∴m ≥F(X,Y)max = ﹣4 ∴m的最小值为﹣4