作业帮求f(x,y)=x^3-y^3+3x^2-9x的极值.
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/09 10:20:19
求f(x,y)=x^3-y^3+3x^2-9x的极值.
求f(x,y)=x^3-y^3+3x^2-9x的极值.
求f(x,y)=x^3-y^3+3x^2-9x的极值.
求f(x,y)=x³-y³+3x²-9x的极值
令∂f/∂x=3x²+6x-9=3(x²+2x-3)=3(x+3)(x-1)=0,得x₁=-3,x₂=1；
再令∂f/∂y=-3y²=0,得y=0；
故得驻点M(-3,0)；N(1,0)；
A=∂²f/∂x²=6x+6；B=∂²f/∂x∂y=0；C=∂²f/∂y²=0；
对驻点M(-3,0)：A=-18+6=-12；B=0；C=0；B²-AC=0,故M是否是极值点,不能确定；
对驻点N(1,0)：A=6+6=12；B=0；C=0；B²-AC=0,故N是否是极值点,也不能确定.
令y=0,即用xoz平面去截此曲面,得平面曲线f(x)=x³+3x²-9x,令df/dx=3x²+6x-9=3(x+3)(x-1)=0
故在此截面内有极大点x=-3,极小点x=1；再用x=-3的平面去截此曲面,得f(-3,y)=27-y³,这是
一个关于y的奇函数,y=0不是极值点；∴M不是极值点.再用x=1的平面去截此曲面,得f(1,y)
=-5-y³,这也是关于y的奇函数,y=0也不是极值点；结论：原函数f(x,y)没有极值.
af(x,y)/ax=3x^2+6x-9=0 x=1or x=-3
af(x,y)/ay=-3y^2=0 y=0
驻点：(1,0) (-3,0)
A=fxx=a^2f/ax^2=6x+6 B=fxy=0
C=fyy=-6y
在(1,0)处，AC-B^2=(6*1+6)*(-6*0)-0^2=0
都是0,只好一个个来！...
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af(x,y)/ax=3x^2+6x-9=0 x=1or x=-3
af(x,y)/ay=-3y^2=0 y=0
驻点：(1,0) (-3,0)
A=fxx=a^2f/ax^2=6x+6 B=fxy=0
C=fyy=-6y
在(1,0)处，AC-B^2=(6*1+6)*(-6*0)-0^2=0
都是0,只好一个个来！
设f(x)=x^3+3x^2-9x g(y)=-y^3
f'(x)=3x^2+6x-9=3(x+3)(x-1) g'(y)=-3y^2
f''(x)=6x+6 g''=-6y
f(1)=1+3-9=-5 f''(1)>0有极小值f(1)=-5
f(-3)=-27+27+27=27 f''(-3)=-12<0 极大值f(-3)=27
g(0)=0 g''=0不是极值。
由此看来，没有极值。
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